Question

К графику функции y = x^2 - 4x из точки А(3;-19) проведены касательные. Напишите уравнения этих касательных. В ответе напишите 2 уравнения через запятую без пробелов на анг. языке (y=kx+b, y=kx+b).

Answer 1

К графику функции y = f(x) =  x² - 4x из точки А(3;-19) проведены касательные. Напишите уравнения этих касательных.

Ответ:

Объяснение:  

! ! А(3; - 19)  ∉ к графику функции y =  x² - 4x    3² -4*3 = -3 ≠ -19  

Уравнение касательной к графику функции y = f(x)  в точке  

(x₀ ; y₀)  имеет вид :  

y = f (x₀) +f ' (x₀) (x - x₀)

f (x₀)  = x₀² - 4x₀

f '(x) = (x² - 4x ) ' = 2x - 4   ⇒  f '(x₀)  = 2x₀  - 4 =2(

y =   x₀² -  4x₀ +(2x₀ - 4 )( x- x₀ ) =    x₀² -  4x₀ +(2x₀ - 4)* x - 2x₀² + 4x₀

y  = (2x₀  - 4) )* x  -  x₀².    * * *   k =  2x₀  - 4 ;   b = - x₀²  * * *

Касательные проведены из точки  А(3;-19) ,следовательно :

- 19 = 2(x₀  - 2 )*3 - x₀²  ⇔  x₀²- 6x₀ - 7 = 0 _ квадратное уравнение относительно x₀.    * * *  x₀ = 3 ± √( (3² -(-7) ) ⇔ x₀ = 3 ± 4 * * *

или  x₀ = - 1   ; x₀  =7  по теореме Виета .

----

или  x₀²- 6x₀ - 7 = 0 ⇔ x₀²- 7x₀ + x₀ - 7=0 ⇔x₀(x₀ -7)+ (x₀ - 7) =0 ⇔

(x₀ +1) (x₀ - 7) =0  ⇒ x₀ = - 1 ; x₀  = 7  .  

Уравнение касательной будет :

а )  y  = (2*(-1)  - 4 )*x - (-1)²  = - 6x - 1 ;         T₁  (-1 ; 5)

б)    y  = (2*7   -  4 )* x - 7² = 10x - 49  ;        T₂(7; 21) .

y  = - 6x - 1, y = 10x - 49 .                          

* * *   T₁  (-1 ; 5)   и    T₂(7; 21)  точки касания * * *

Answer 2

Для нахождения уравнений касательных к графику функции y = x^2 - 4x из точки A(3, -19), нужно найти производную функции и подставить в неё координаты точки A, чтобы получить значение наклона касательной. Затем используем формулу уравнения прямой y = kx + b, подставляя в неё найденный наклон и координаты точки A.

1. Найдем производную функции y = x^2 - 4x: y' = 2x - 4

2. Подставим координаты точки A(3, -19) в производную: k = 2 * 3 - 4 = 2

Теперь у нас есть значение наклона касательной (k).

3. Найдем значение y для точки A(3, -19) в исходной функции: y = 3^2 - 4 * 3 = 9 - 12 = -3

Теперь у нас есть значение y для точки A(3, -19) (y = -3).

4. Подставим значения k и y в уравнение прямой y = kx + b: -19 = 2 * 3 + b b = -19 - 6 b = -25

Таким образом, уравнение первой касательной: y = 2x - 25

Теперь найдем уравнение второй касательной. Для этого учтем, что касательные проведены к симметричным точкам относительно вершины параболы (поскольку график функции симметричен относительно оси параболы x = -b/(2a)).

1. Найдем вершину параболы (xv, yv) с помощью формулы xv = -b / (2a) и yv = f(xv), где f(x) = x^2 - 4x: xv = -(-25) / (2 * 1) = 25 / 2 = 12.5 yv = 12.5^2 - 4 * 12.5 = 156.25 - 50 = 106.25

Таким образом, вершина параболы V(12.5, 106.25).

2. Теперь найдем вторую точку B, симметричную точке A(3, -19) относительно V(12.5, 106.25): x-coordinate: xb = 2 * xv - xa = 2 * 12.5 - 3 = 22 y-coordinate: yb = 2 * yv - ya = 2 * 106.25 - (-19) = 232.5

Таким образом, точка B имеет координаты B(22, 232.5).

3. Найдем наклон второй касательной (k2) из координат точек A и B: k2 = (yb - ya) / (xb - xa) = (232.5 - (-19)) / (22 - 3) = 251.5 / 19 ≈ 13.24

4. Теперь подставим значение k2 и координаты точки A(3, -19) в уравнение прямой y = kx + b: -19 = 13.24 * 3 + b b = -19 - 39.72 b ≈ -58.72

Таким образом, уравнение второй касательной: y = 13.24x - 58.72

Итак, уравнения касательных к графику функции y = x^2 - 4x из точки A(3, -19) следующие:

1. y = 2x - 25
2. y = 13.24x - 58.72