Question

Sin^2x-sinxcosx-2cos^2x=a Найти все значения а, при которых уравнение не имеет решения

Answer 1

Sin²x-sinxcosx-2cos²x-asin²x-acos²x=0
(1-a)*sin²x-sinxcosx-(2+a)^cosx=0/cos²x
(1-a)*tg²x-tgx-(2+a)=0
tgx=m
(1-a)*m²-m-(2+a)=0
D=1+4(1-a)(2+a)=1+8+4a-8a-4a²=-4a²-4a+9<0
4a²+4a-9>0
D=16+144=160
a1=(-4-4√10)/8=-0,5-0,5√10 U a2=-0,5+0,5√10
a∈(-∞;-0,5-0,5√10) U (-0,5+0,5√10;∞)   

Answer 2

Давайте рассмотрим уравнение:

$\sin^2(x) - \sin(x)\cos(x) - 2\cos^2(x) = a$

Перепишем его, используя тригонометрические тождества:

$\sin^2(x) - \sin(x)\cos(x) - 2(1 - \sin^2(x)) = a$

Раскроем скобки:

$\sin^2(x) - \sin(x)\cos(x) - 2 + 2\sin^2(x) = a$

Упростим:

$3\sin^2(x) - \sin(x)\cos(x) - 2 = a$

Теперь обратим внимание, что у нас есть произведение $\sin(x)\cos(x)$, которое можно выразить через $\frac{\sin(2x)}{2}$. Подставим это в уравнение:

$3\sin^2(x) - \frac{\sin(2x)}{2} - 2 = a$

После этого у нас есть уравнение с синусами и косинусами. Если нам нужно найти такие значения $a$, при которых уравнение не имеет решения, это означает, что уравнение не должно иметь решений для ни одного $x$.

Для этого уравнение должно быть неверным для всех $x$. Посмотрим, какие значения $a$ удовлетворяют этому условию:

$3\sin^2(x) - \frac{\sin(2x)}{2} - 2 < a \text{ для всех } x$

Заметим, что минимальное значение для $\sin^2(x)$ равно 0, а максимальное 1. Минимальное значение для $\sin(2x)$ также равно -1. Подставим эти значения:

$-2 - \frac{1}{2} - 2 < a$

$-\frac{9}{2} < a$

Таким образом, значения $a$, при которых уравнение не имеет решений, это все значения $a$, меньшие чем $-\frac{9}{2}$.