Question

Вычислите площадь фигуры ограниченной линиями у=-0,5х^2+2х У=-0,5х+2

Answer 1

-0,5x^2+2x= -0,5x+2 - находим точки пересечения графиков
0,5x^2-2,5x+2=0
x^2-5x+4=0
D=25-16=9
x1=(5-3)/2=1
x2=(5+3)/2=4
Функция y= -0,5х^2+2х  ограничивает фигуру сверху поэтому

$\large \\ S=\int_{1}^{4}(-0,5x^2+2x+0,5x-2)\mathrm{dx}=-0,5\cdot\int_{1}^{4}x^2\mathrm{dx}-2x|_{1}^{4}+2,5\cdot\int_{1}^{4}x\mathrm{dx}=-{1\over6}\cdot x^3|_{1}^{4}-2\cdot x|_{1}^{4}+{5\over4}\cdot x^2|_{1}^{4}=-{63\over6}-6+{75\over4}=2,25$

Answer 2

Для вычисления площади фигуры, ограниченной графиками функций y = -0.5x^2 + 2x и y = -0.5x + 2, нам нужно найти точки их пересечения, которые определяют границы этой фигуры. Затем мы можем использовать определенный интеграл для вычисления площади между этими двуми кривыми.

Сначала найдем точки пересечения двух функций:

• Поставим уравнения равными друг другу: -0.5x^2 + 2x = -0.5x + 2

Теперь решим это уравнение:

-0.5x^2 + 2x + 0.5x - 2 = 0 -0.5x^2 + 2.5x - 2 = 0

Далее, используем квадратное уравнение для нахождения корней:

D = b^2 - 4ac D = (2.5)^2 - 4*(-0.5)*(-2) D = 6.25 - 4 = 2.25

x = (-b ± √D) / (2a) x = (-2.5 ± √2.25) / (-1)

Теперь найдем x:

x1 = (-2.5 + √2.25) / (-1) ≈ 3 x2 = (-2.5 - √2.25) / (-1) ≈ 0.5

Теперь у нас есть точки пересечения (x1, y1) и (x2, y2), где y1 и y2 - значения функции y для соответствующих x1 и x2.

Теперь вычислим значения y1 и y2:

y1 = -0.53^2 + 23 = -4.5 + 6 = 1.5 y2 = -0.50.5^2 + 20.5 = -0.125 + 1 = 0.875

Итак, у нас есть точки пересечения: (3, 1.5) и (0.5, 0.875).

Теперь мы можем вычислить интеграл для нахождения площади между этими двумя кривыми:

S = ∫[a, b] (f(x) - g(x)) dx

где a и b - точки пересечения, f(x) - верхняя функция (y = -0.5x^2 + 2x), g(x) - нижняя функция (y = -0.5x + 2).

S = ∫[0.5, 3] ((-0.5x^2 + 2x) - (-0.5x + 2)) dx

Теперь вычислим этот определенный интеграл:

S = ∫[0.5, 3] (-0.5x^2 + 2x + 0.5x - 2) dx S = ∫[0.5, 3] (-0.5x^2 + 2.5x - 2) dx

Вычисляем интеграл:

S = [-1/6x^3 + 5/2x^2 - 2x] |[0.5, 3]

Теперь подставляем верхний и нижний пределы:

S = [(-1/63^3 + 5/23^2 - 23) - (-1/60.5^3 + 5/20.5^2 - 20.5)]

S = [(-9 + 27/2 - 6) - (-1/48 + 5/8 - 1)] S = [(27/2 - 9/2 - 6) - (-1/48 + 20/48 - 48/48)] S = [(27/2 - 9/2 - 6) - (-29/48)] S = [9/2 - 12 - (-29/48)] S = [4.5 - 12 + 29/48] S = [16.5 + 29/48]

Теперь сложим числа:

S = 16.5 + 29/48 ≈ 17.60416667

Итак, площадь фигуры, ограниченной графиками функций y = -0.5x^2 + 2x и y = -0.5x + 2, равна примерно 17.604 квадратным единицам (единицы площади).