Question

Ребят помогайте. Решить уравнение на множестве комплексных чисел: z^3=i. Заранее спасибо.

Answer 1

$z= \sqrt[3]{i}$
По основной теореме алгебры должно быть корней ровно столько, какой старший степень.

Рассмотрим  $a=0+i$
Модуль комплексного числа а:  $|a|= \sqrt{0^2+1^2} =1$ и тогда

$a=i=1\cdot(\cos \frac{\pi}{2} +i\sin\frac{\pi}{2} )$


и тогда по формуле Муавра:

   $\sqrt[3]{z} =\cos \dfrac{\frac{\pi}{2} +2 \pi k}{3} +i\sin\dfrac{\frac{\pi}{2} +2 \pi k}{3} ,~~~ k=0,1,2.$

Answer 2

Для решения уравнения z^3 = i на множестве комплексных чисел, мы можем воспользоваться формулой Муавра для возведения комплексного числа в степень. Формула Муавра гласит:

$z^n = r^n * (cos(n*θ) + i*sin(n*θ))$,

где:

• $z = r*(cos(θ) + i*sin(θ))$,
• $n$ - степень, в которую возводится $z$.

В данном уравнении $i$ - это комплексное число, которое можно представить как $i = cos(π/2) + i*sin(π/2)$.

Теперь мы можем использовать формулу Муавра для $i$ и для $z$ и затем решить уравнение:

$z^3 = i$,

$r^3 * (cos(3θ) + i*sin(3θ)) = cos(π/2) + i*sin(π/2)$.

Теперь сравним действительные и мнимые части на обеих сторонах уравнения:

Для действительных частей:

$r^3 * cos(3θ) = cos(π/2)$.

Для мнимых частей:

$r^3 * sin(3θ) = sin(π/2)$.

Сначала найдем значение $r^3$:

$r^3 = |i| = 1$.

Теперь рассмотрим действительные части:

$cos(3θ) = cos(π/2)$.

Это означает:

$3θ = π/2 + 2πk$, где $k$ - целое число.

Или:

$θ = (π/2 + 2πk)/3$.

Теперь рассмотрим мнимые части:

$sin(3θ) = sin(π/2)$.

Это означает:

$3θ = π/2 + 2πm$, где $m$ - целое число.

Или:

$θ = (π/2 + 2πm)/3$.

Таким образом, у нас есть два набора решений для $θ$ на множестве комплексных чисел, которые удовлетворяют уравнению $z^3 = i$:

1. $θ = (π/2 + 2πk)/3$, где $k$ - целое число.
2. $θ = (π/2 + 2πm)/3$, где $m$ - целое число.

Теперь мы можем найти значения $z$ для каждого из этих наборов $θ$ и получить комплексные числа, которые удовлетворяют уравнению $z^3 = i$.