Question

Квадрату, площадь которого 6 см2 принадлежат,3 многоугольника, площадь каждого из которых равняется 3 см2. Доказать,что среди многоугольников найдутся два,площадь общей части которых не меньше чем 1 см2.

Answer 1

Если сложить площади многоугольников, то получим 9 см2. Но этого быть не может, т.к. площадь квадрата, который вмещает все эти многоугольники, равна 6 см2. Следовательно, все эти многоугольники или любые два из них имеют общую часть. Общая площадь общих частей равна 3 см2. Всего внутри квадрата находится 3 многоугольника, следовательно, хотя бы у двух из них площадь общей части будет 1 или больше см2, что и требовалось доказать.

Answer 2

Давайте рассмотрим данную задачу.

У нас есть квадрат со стороной "a", площадь которого равна 6 см^2. То есть:

a^2 = 6

Теперь у нас есть 3 многоугольника, каждый из которых имеет площадь 3 см^2. Обозначим площадь каждого многоугольника как S1, S2 и S3.

S1 = 3 см^2 S2 = 3 см^2 S3 = 3 см^2

Нам нужно доказать, что среди этих многоугольников найдутся два, площадь общей части которых не меньше 1 см^2.

Предположим, что это не так, и все многоугольники не имеют общей площади более 1 см^2. То есть, для любых двух многоугольников, их общая площадь меньше 1 см^2.

Пусть первый многоугольник (S1) пересекается с вторым многоугольником (S2) на площади "x", с первым и третьим многоугольниками (S3) на площади "y", и со вторым и третьим многоугольниками (S2) на площади "z".

Тогда у нас есть следующее:

x < 1 (по условию) y < 1 (по условию) z < 1 (по условию)

Суммируем эти неравенства:

x + y + z < 3

Но общая площадь трех многоугольников равна:

S1 + S2 + S3 = 3 + 3 + 3 = 9 см^2

Так как общая площадь не может быть больше 9 см^2, а сумма общих площадей пересекающихся частей меньше 3 см^2, то общая площадь пересекающихся частей трех многоугольников не может быть больше 9 - 3 = 6 см^2.

Но у нас уже есть квадрат со стороной "a", площадь которого равна 6 см^2. Это означает, что у нас есть многоугольник с площадью 6 см^2, который пересекается со всеми тремя многоугольниками, и общая площадь пересекающихся частей не меньше 6 см^2.

Это противоречие нашему предположению, что общая площадь пересекающихся частей всех многоугольников меньше 6 см^2. Следовательно, наша исходная гипотеза неверна, и среди многоугольников найдутся два, площадь общей части которых не меньше 1 см^2.