Question

Найдите область значений функции: y=3x^2+6x-2

Answer 1

$y(x)=3x^2+6x-2$
ветви параболы вверх ,поэтому

$y'(x_{min})=0 \\ y_{min}=y(x_{min})$

$y'(x)=(3x^2+6x-2)'= \\ = 6x + 6 = 0 = > x_{min} = - 1 \\ y_{min} = y( - 1) = \\ = 3 {( - 1)}^{2} + 6( - 1) - 2 = \\ = 3 - 6 - 2 = - 5$

$E_{y(x)}=[-5;+∞)$

Answer 2

Для нахождения области значений функции y = 3x^2 + 6x - 2 мы можем воспользоваться свойствами параболы. Эта функция представляет собой параболу, которая открывается вверх (поскольку коэффициент при x^2 положителен), и поэтому она не имеет нижней грани. Это означает, что функция может принимать любые значения, большие или равные минимальному значению, которое она может достичь.

Для определения минимального значения функции мы можем найти вершину параболы. Вершина параболы имеет x-координату x = -b / (2a), где a - коэффициент при x^2, а b - коэффициент при x. В данном случае a = 3 и b = 6, поэтому x = -6 / (2 * 3) = -1.

Теперь мы можем найти значение функции в этой точке:

y = 3x^2 + 6x - 2 y = 3(-1)^2 + 6(-1) - 2 y = 3 - 6 - 2 y = -5

Итак, минимальное значение функции равно -5, и функция может принимать любые значения, большие или равные -5. Таким образом, область значений функции y = 3x^2 + 6x - 2 - это множество всех действительных чисел y, таких что y ≥ -5.