Question

Вычислите площадь фигуры ограниченной линиями y=x²+6x+9,y=0, x=0

Answer 1

$y=x^2+6x+9\; ,\; \; y=(x+3)^2\; -\; parabola,\; vershina\; (-3,0)\\\\x=0\; ,\; \; y=0\\\\S=\int\limits^0_{-3}(x+3)^2\, dx=\frac{(x+3)^3}{3}\Big |_{-3}^0=\frac{1}{3}\cdot (3^3-0^3)=9$

Answer 2

Для вычисления площади фигуры, ограниченной кривыми y = x² + 6x + 9, y = 0 и x = 0, нужно выполнить следующие шаги:

1. Найдите точки пересечения кривых y = x² + 6x + 9 и y = 0, чтобы определить интервал x, на котором находится фигура.

Сначала найдем точки пересечения кривых: x² + 6x + 9 = 0

Это квадратное уравнение. Мы можем решить его, находя дискриминант:

D = (6)² - 4 * 1 * 9 = 36 - 36 = 0

Дискриминант равен нулю, что означает, что у уравнения есть один корень:

x = -6 / (2 * 1) = -3

Таким образом, точка пересечения находится при x = -3.

2. Теперь мы знаем, что фигура ограничена на интервале от x = 0 до x = -3.

3. Вычислите интеграл от функции y = x² + 6x + 9 по этому интервалу:

S = ∫[0, -3] (x² + 6x + 9) dx

Вычислим этот интеграл:

S = [x³/3 + 3x² + 9x] от 0 до -3

S = [(-3)³/3 + 3*(-3)² + 9*(-3)] - [0³/3 + 30² + 90]

S = [-27/3 + 27 - 27] - [0]

S = (-9 + 27 - 27) - 0

S = (-9) - 0

S = -9

Итак, площадь фигуры, ограниченной кривыми y = x² + 6x + 9, y = 0 и x = 0, равна 9 квадратным единицам.