Question

Докажите что число 4^(2n) + 2^(2n+1)+1,n∈ N,является точным квадратом.

Answer 1

(4^n)^2+2*4^n+1=(4^n+1)^2

Answer 2

Для доказательства того, что число $4^{2n} + 2^{2n+1} + 1$, где $n$ - натуральное число, является точным квадратом, мы можем воспользоваться методом математической индукции.

Шаг 1: Базовый случай. Для $n = 1$: $4^{2 \cdot 1} + 2^{2 \cdot 1 + 1} + 1 = 4^2 + 2^3 + 1 = 16 + 8 + 1 = 25$. 25 - это квадрат числа 5.

Шаг 2: Предположение индукции. Предположим, что для некоторого положительного целого числа $k$ выполняется: $4^{2k} + 2^{2k+1} + 1 = m^2,$ где $m$ - целое число.

Шаг 3: Индукционный переход. Докажем, что если утверждение верно для $k$, то оно верно и для $k+1$.

Рассмотрим выражение для $k+1$: $4^{2(k+1)} + 2^{2(k+1)+1} + 1$

Мы можем переписать это выражение следующим образом: $4^{2(k+1)} + 2^{2(k+1)+1} + 1 = 4^{2k+2} + 2^{2k+3} + 1 = 4^2 \cdot 4^{2k} + 2^3 \cdot 2^{2k} + 1 = (4^2 + 2^3 + 1) \cdot 4^{2k}.$

Мы видим, что это выражение является произведением числа $4^{2k}$ на квадрат числа $4^2 + 2^3 + 1 = 25$, который равен 5. Таким образом, выражение равно $25 \cdot 4^{2k}$.

Поскольку мы предположили, что $4^{2k} + 2^{2k+1} + 1$ является квадратом для некоторого $k$, то $4^{2k} + 2^{2k+1} + 1 = m^2$. Теперь мы видим, что $4^{2(k+1)} + 2^{2(k+1)+1} + 1 = 25 \cdot 4^{2k} = 25m^2$.

Таким образом, мы показали, что если утверждение верно для $k$, то оно верно и для $k+1$. По принципу математической индукции, утверждение верно для всех натуральных чисел $n$.

Таким образом, число $4^{2n} + 2^{2n+1} + 1$ является точным квадратом для всех $n \in \mathbb{N}$.