Question

Мистер Фокс выписал в ряд очень много натуральных чисел. Пришел Мистер Форд и выбрал несколько подряд идущих чисел так, что ни у одного из выбранных чисел сумма цифр не делится на 8. Какое наибольшее количество чисел мог выбрать Мистер Форд?

Answer 1

Ответ:

14

Объяснение:

В рамках одного десятка:

1) Сумма цифр последовательных чисел увеличивается каждый раз на единицу при переходе от числа к числу

2) Остаток при делении на 8 суммы цифр - также будет увеличиваться каждый раз на единицу. Поэтому, начав с числа, делящегося на 8, следующие семь чисел будут давать остатки от 1 до 7 (подойдут нам), зато восьмое - снова будет делиться на 8

В итоге, если брать числа подряд в рамках одного десятка, то никогда не получится взять их больше 7.

При переходе на следующий десяток:

Если в процессе перебора последовательных чисел мы перейдем через десяток, то "счетчик остатков" может уменьшить свои показания и мы сможем взять больше слагаемых.

Например:

63; 64; 65; 66; 67; 68; 69; 70; - у нас получилось 8 чисел, так как "счетчик остатков на 8" сначало рос от 1 до 7, а потом "замерз" на 7

При переходе на следующий десяток сумма цифр у нас уменьшилась на 9 - 1 = 8, то есть при делении на 8 дала тот же остаток, а значит количество чисел, удовлетворяющих условию задачи может быть больше 7.

Осталось выяснить на сколько больше.

Представим "максимальную" ситуацию - "счетчик остатков" пробегает от 1 до 7 и сбрасывается в 1 и снова пробегает до 7 и... всё! Следущий десяток ещё не начался (смена десятка случается через... каждые 10 последовательных чисел, а мы прошли только 7), а значит следующее число будет делиться на 8. Таким образом наибольшее количество чисел 14

Answer 2

Ответ:

Количество идущих подряд чисел, у которых сумма цифр не делится на 8, может быть как угодно велико.

Объяснение:

В начале числового ряда между числами, у которых сумма цифр делится на 8, лежит ровно 8 чисел. Например, между 17 и 26 находятся числа:

18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25 - ровно 8 чисел.

Но, если продвинуться дальше, то можно найти более длинный ряд.

Например, после числа 996 (сумма цифр 24) идут числа:

997, 998, 999, 1000, 1001, 1002, 1003, 1004, 1005, 1006

Следующее число 1007 имеет сумму цифр 8. В промежутке 10 чисел.

Чем больше увеличивается количество нулей, тем длиннее ряд.

Например, возьмем число 9999992 (сумма цифр 56).

После него идут числа:

9999992, 9999993, 9999994, 9999995, 999996, 9999997, 9999998, 9999999, 10000000, 10000001, 10000002, 10000003, 10000004, 10000005, 10000006.

Следующее число 10000007 имеет сумму цифр 8. Получили 15 чисел.

Answer 3

Для решения этой задачи давайте рассмотрим суммы цифр, которые могут возникнуть при выборе чисел.

Сумма цифр натуральных чисел может быть от 1 до 9 (если число состоит из одной цифры) и от 10 до 18 (если число состоит из двух цифр). Если сумма цифр больше 18, то она может быть уменьшена, вычтя 9 из суммы, так как сумма всех десяти чисел от 1 до 9 равна 45, и дальше сумма цифр начинает повторяться.

Теперь мы хотим выбрать несколько чисел так, чтобы ни у одного из них сумма цифр не делилась на 8. Поскольку 8 делит 16 и 24, нам нужно избегать сумм цифр, равных 8 и 16.

Минимальная сумма цифр, равная 8, может быть получена с числами 89 или 98 (8 + 9 = 17, 9 + 8 = 17).

Минимальная сумма цифр, равная 16, может быть получена с числами 79, 97, 88, 25, 52, 43, 34, и 61 (например, 7 + 9 = 16, 9 + 7 = 16, 8 + 8 = 16 и так далее).

Теперь мы можем составить строку чисел, избегая сумм цифр 8 и 16:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 26, 27, 28, 29, 30, и так далее.

Мы можем видеть, что каждое число в этой последовательности имеет разную сумму цифр, и ни одна из сумм не равна 8 или 16.

Таким образом, Мистер Форд может выбрать бесконечное количество чисел в этой последовательности, и ни у одного из них сумма цифр не будет делиться на 8.