Question

Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями a)y=x^3 y=0 и x=2: б) y=x^2 y=0 и x= -2

Answer 1

Ответ: приложено

Объяснение:

Answer 2

Відповідь:

Пояснення:

Answer 3

Для вычисления площади фигуры, ограниченной заданными кривыми, необходимо найти точки их пересечения и затем вычислить определенный интеграл от одной функции до другой вдоль оси x. Площадь между двумя кривыми $y = f(x)$ и $y = g(x)$ на отрезке $[a, b]$ может быть вычислена по формуле:

$S = \int_{a}^{b} |f(x) - g(x)| \, dx$

Для первой задачи:

a) Кривые $y = x^3$, $y = 0$ и $x = 2$ пересекаются в точке $(2, 8)$. Таким образом, для вычисления площади этой фигуры, мы будем интегрировать от 0 до 2 от разности функций $x^3$ и 0:

$S_a = \int_{0}^{2} (x^3 - 0) \, dx = \int_{0}^{2} x^3 \, dx$

Вычисляя этот интеграл:

$S_a = \left[\frac{1}{4}x^4\right]_{0}^{2} = \frac{1}{4}(2^4 - 0^4) = 4$

Для второй задачи:

b) Кривые $y = x^2$, $y = 0$ и $x = -2$ пересекаются в точке $(-2, 4)$. Таким образом, для вычисления площади этой фигуры, мы будем интегрировать от -2 до 0 от разности функций $x^2$ и 0:

$S_b = \int_{-2}^{0} (0 - x^2) \, dx = \int_{-2}^{0} x^2 \, dx$

Вычисляя этот интеграл:

$S_b = \left[\frac{1}{3}x^3\right]_{-2}^{0} = \frac{1}{3}(0 - (-2)^3) = \frac{8}{3}$

Таким образом, площадь фигуры в задаче a) равна 4, а в задаче b) равна $\frac{8}{3}$.