Question

Прямая, проходящая через середину биссектрисы AD треугольника ABC и перпендикулярная к AD, пересекает сторону AC в точке M. Докажите что MD параллельна AB

Answer 1

Объяснение:

Нарисовал я конечно так себе, но это почти не влияет на решение(Там еще в центре точка О, забыл пометить).

Рассмотрим треугольники AOJ и AOM:

1. JAO = MAO(так как AD - биссектриса),

2. AO - общая сторона,

3. AOJ = MOA = 90°,

Следовательно, треугольники AOJ и AOM равны по стороне и двум прилежащих к ней углам.

Значит, стороны JO и MO - равны, как соответственные стороны равных треугольников.

Рассмотрим треугольники MOD и JOA:

1. JOA = MOD(по условию),

2. AO = OD(по условию)

3. JO = MO(как было сказано ранее)

Следовательно, треугольники равны по двум сторонам и углу между ними.

Значит, углы OMD и OJA - равны, как соответственные углы равных треугольников.

Углы OMD и OJA - накрест лежащие при прямых AB и MD и секущей JM. Следовательно, AB || MD, ч. т. д.

Answer 2

Для доказательства того, что линия MD параллельна AB, мы можем воспользоваться свойствами биссектрисы и перпендикуляра.

Пусть ABC - треугольник, а AD - биссектриса угла A. Так как MD перпендикулярна AD и проходит через середину биссектрисы AD, то она также будет проходить через точку, которая является серединой отрезка AD. Обозначим эту точку как P.

Так как P - середина отрезка AD, то AP = PD. Теперь рассмотрим треугольники AMP и DMP:

1. AP = PD (как уже установлено).
2. Угол AMP = угол DMP, так как они оба прямые углы (перпендикуляры к AD).
3. Угол AMP = угол DAP (по построению).
4. Угол DAP = угол PAB (так как AD - биссектриса угла A).

Из этих фактов следует, что треугольники AMP и DMP подобны по углам (по двум углам).

Теперь, используя свойство подобных треугольников, мы можем сказать, что отношение длин отрезков MD и MP равно отношению длин отрезков DP и AP:

MD/MP = DP/AP

Но так как AP = PD, то:

MD/MP = DP/PD

Из этого следует, что MD = MP. То есть отрезок MD равен отрезку MP.

Так как MD и MP равны по длине, а MP - это отрезок, который соединяет середину биссектрисы AD с точкой M на стороне AC, то MD также параллельна стороне AC, и это доказывает, что MD параллельна AB.