Question

Дана функция f(x)=x^3-3x. Найти промежутки возрастания функции.

Answer 1

Ответ:

Найти промежутки возрастания функции.

$- \infty < x < - 1 \: u \: 1 < x < \infty$

Answer 2

Чтобы найти промежутки возрастания функции $f(x) = x^3 - 3x$, нужно выполнить следующие шаги:

1. Начнем с нахождения производной функции $f(x)$.
2. Найдем критические точки, где производная равна нулю или не существует.
3. Исследуем знак производной между критическими точками, чтобы определить промежутки возрастания.

Шаг 1: Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = 3x^2 - 3$

Шаг 2: Найдем критические точки, приравняв производную к нулю и решив уравнение:

$3x^2 - 3 = 0$

Решение этого уравнения даст нам критические точки:

$3x^2 = 3$ $x^2 = 1$ $x = \pm 1$

Итак, у нас есть две критические точки: $x = -1$ и $x = 1$.

Шаг 3: Теперь определим промежутки возрастания, исследуя знак производной между критическими точками.

Для этого можно взять тестовые точки в каждом из следующих интервалов:

• $(- \infty, -1)$
• $(-1, 1)$
• $(1, +\infty)$

Давайте подставим, например, $x = 0$ в производную $f'(x)$:

$f'(0) = 3(0)^2 - 3 = -3$

Таким образом, на интервале $(- \infty, -1)$ производная $f'(x)$ отрицательна (знак минус), что означает, что функция $f(x)$ убывает на этом интервале.

Теперь проверим интервал $(-1, 1)$ с $x = 0$:

$f'(0) = -3$

Знак производной остается отрицательным, поэтому функция $f(x)$ также убывает на интервале $(-1, 1)$.

Наконец, проверим интервал $(1, +\infty)$ с $x = 2$:

$f'(2) = 3(2)^2 - 3 = 9$

Здесь производная положительна, поэтому функция $f(x)$ возрастает на интервале $(1, +\infty)$.

Итак, промежутки возрастания функции $f(x) = x^3 - 3x$ - это интервалы $(1, +\infty)$. Функция убывает на интервалах $(- \infty, -1)$ и $(-1, 1)$.