Question

Решите уравнение: sin2x+4sinx+4cosx-5=0

Answer 1

Ответ:

(см. объяснение)

Объяснение:

Шаг 1: преобразуем уравнение.

$\sin2x+4\sin x+4\cos x-5=0\\\sin 2x+4(\sin x+\cos x)-5=0$

Шаг 2: выполним замену.

Замена:

$t=\sin x+\cos x\\t^2=1+\sin 2x\; =>\; \sin 2x=t^2-1$

ОДЗ для буквы t:

$\sin x+\cos x=\sqrt{2}\left(\sin x\cos\dfrac{\pi}{4}+\sin \dfrac{\pi}{4}\cos x\right)=\sqrt{2}\sin\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)$

Sin дает значения от -1 до 1 включительно. Если умножить их на $\sqrt{2}$, то получится, что $t\in\left[-\sqrt{2};\; \sqrt{2}\right]$,

Шаг 3: решим квадратное уравнение.

Продолжим решение:

$t^2-1+4t-5=0\\t^2+4t-6=0\\\sqrt{\dfrac{D}{4}}=\sqrt{4+6}=\sqrt{10}\\t_{1,2}=-2\pm\sqrt{10}$

Рассмотрим корень $-2-\sqrt{10}\approx-5.16$ (а вообще понятно, что само число больше, чем корень из него, а тут мы еще корень из 10 вычитаем). Он посторонний, так как выше мы доказали, что $t\in\left[-\sqrt{2};\; \sqrt{2}\right]$. Другой корень посторонним не является. Значит работать будем только с ним.

Шаг 4: обратная замена.

Обратная замена:

$t=-2+\sqrt{10},\; \sin x+\cos x=-2+\sqrt{10}$

Выше уже узнавали значение суммы sin и cos через одну тригонометрическую функцию. Поэтому пишу сразу:

$></p> <p>Полученное уравнение можно без труда решить следующим образом:</p> <p><img src=$

$\left[\begin{array}{c}x=\arcsin\left(\sqrt{5}-\sqrt{2}\right)-\dfrac{\pi}{4}+2n\pi,\; n\in Z\\x=-\arcsin\left(\sqrt{5}-\sqrt{2}\right)+\dfrac{3\pi}{4}+2n\pi,\; n\in Z\end{array}\right;$

Уравнение решено!

Answer 2

Давайте решим данное уравнение по шагам.

У нас есть уравнение:

sin(2x) + 4sin(x) + 4cos(x) - 5 = 0.

Давайте заметим, что 4sin(x) = 4sin(x)cos(x) и 4cos(x) = 4cos(x)cos(x).

Теперь уравнение выглядит так:

sin(2x) + 4sin(x)cos(x) + 4cos(x)cos(x) - 5 = 0.

Далее, мы можем воспользоваться тригонометрической идентичностью sin(2x) = 2sin(x)cos(x):

2sin(x)cos(x) + 4sin(x)cos(x) + 4cos(x)cos(x) - 5 = 0.

Теперь объединим слагаемые синусов и косинусов:

(2sin(x)cos(x) + 4sin(x)cos(x)) + 4cos(x)cos(x) - 5 = 0.

6sin(x)cos(x) + 4cos(x)cos(x) - 5 = 0.

Теперь давайте вынесем общий множитель cos(x):

cos(x)(6sin(x) + 4cos(x)) - 5 = 0.

Теперь у нас есть два множителя, и мы можем рассмотреть их по отдельности:

1. cos(x) = 0.

2. 6sin(x) + 4cos(x) = 5.

Рассмотрим первый случай:

1. cos(x) = 0.

Это уравнение имеет бесконечно много решений, так как cos(x) = 0 при x = π/2 + πn, где n - целое число.

Теперь рассмотрим второй случай:

2. 6sin(x) + 4cos(x) = 5.

Давайте поделим обе стороны на 2:

3sin(x) + 2cos(x) = 5/2.

Используем тригонометрическую идентичность sin(x) = 2sin(x/2)cos(x/2) и cos(x) = 2cos^2(x/2) - 1:

3(2sin(x/2)cos(x/2)) + 2(2cos^2(x/2) - 1) = 5/2.

Теперь давайте приведем уравнение к более простому виду:

6sin(x/2)cos(x/2) + 4cos^2(x/2) - 3 = 5/2.

Умножим обе стороны на 2, чтобы избавиться от дроби:

12sin(x/2)cos(x/2) + 8cos^2(x/2) - 6 = 5.

12sin(x/2)cos(x/2) + 8cos^2(x/2) - 6 - 5 = 0.

12sin(x/2)cos(x/2) + 8cos^2(x/2) - 11 = 0.

Теперь у нас есть уравнение вида 12sin(x/2)cos(x/2) + 8cos^2(x/2) - 11 = 0, и его решение может быть найдено численно или с использованием методов численного анализа.