Question

найдите max и min на [-4;2]функции у=1/3х^3+х^2-3х

Answer 1

у=1/3х^3+х^2-3х

y'=x^2+2x-3

x^2+2x-3=0

 

D=4+12=16

 

 x1=1, x2=-3

оба числа входят в заданный промежуток

f(-4)=1/3(-4)^3+(-4)^2-3(-4)=20/3

 

 

 

f(-3)=1/3(-3)^3+(-3)^2-3(-3)=9

 

 

 

f(1)=1/3(1)^3+(1)^2-3(1)=-5/3

f(2)=1/3(2)^3+(2)^2-3(2) =2/3

наибольшее значение фукнции 9, наименьшее -5/3

 

 

 

 

Answer 2

Для нахождения максимального и минимального значения функции \( y = \frac{1}{3}x^3 + x^2 - 3x \) на интервале \([-4;2]\), нужно произвести анализ её производной и точек экстремума. Для начала, найдем производную функции \( y \) по \( x \):

\[ y' = \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{3}x^3 + x^2 - 3x \right) \]

\[ y' = x^2 + 2x - 3 \]

Теперь найдем критические точки, приравняв производную к нулю и решив уравнение:

\[ x^2 + 2x - 3 = 0 \]

Для этого уравнения можно использовать квадратное уравнение или просто заметить, что \( x = 1 \) и \( x = -3 \) являются его корнями.

Теперь проверим значения функции в найденных критических точках и на границах интервала \([-4;2]\) (т.е. в точках -4 и 2), чтобы найти максимум и минимум.

1. Подставим \( x = -4, -3, 1, 2 \) в функцию \( y \) и найдем соответствующие значения:

- \( x = -4 \): \( y = \frac{1}{3}(-4)^3 + (-4)^2 - 3(-4) = -20 \) - \( x = -3 \): \( y = \frac{1}{3}(-3)^3 + (-3)^2 - 3(-3) = -9 \) - \( x = 1 \): \( y = \frac{1}{3}(1)^3 + (1)^2 - 3(1) = -\frac{5}{3} \) - \( x = 2 \): \( y = \frac{1}{3}(2)^3 + (2)^2 - 3(2) = -\frac{2}{3} \)

Из этих значений можно увидеть, что максимум функции \( y \) равен -\(\frac{5}{3}\) и достигается при \( x = 1 \), а минимум функции равен -20 и достигается при \( x = -4 \).

Таким образом, мы нашли максимальное и минимальное значение функции \( y \) на интервале \([-4;2]\).