Question

X²+y²-2(y+4x)+17≥0 Довести что при любом значении сменных:

Answer 1

Только не сменных, а переменных. на укр. языке ЗМІННИХ

х²+y²-2(y+4x)+17≥0

(х²-2*х*4+4²)-4²+(у²-2у+1)-1+17=(х-4)²+(у-1)²≥0- есть число неотрицательное, т.к. обе  скобки не могут быть равными отрицательному числу, они или обе положительны, либо нули, либо одна из них нуль, другая положительна. Доказано.

Answer 2

Давайте проанализируем неравенство $x^2 + y^2 - 2(y + 4x) + 17 \geq 0$.

Сначала раскроем скобки и упростим выражение:

$x^2 + y^2 - 2y - 8x + 17 \geq 0$.

Теперь давайте перепишем выражение, чтобы сгруппировать члены, содержащие $x$ и $y$:

$(x^2 - 8x) + (y^2 - 2y) + 17 \geq 0$.

Теперь давайте завершим квадратное уравнение в скобках. Для завершения квадрата для $x$, нужно добавить и вычесть $(8/2)^2 = 16$ внутри первых скобок, и для $y$, нужно добавить и вычесть $(2/2)^2 = 1$ внутри вторых скобок:

$(x^2 - 8x + 16 - 16) + (y^2 - 2y + 1 - 1) + 17 \geq 0$.

Теперь перепишем выражение в виде полного квадрата:

$(x - 4)^2 + (y - 1)^2 - 16 + 1 + 17 \geq 0$.

$(x - 4)^2 + (y - 1)^2 + 2 \geq 0$.

Теперь выражение в скобках всегда неотрицательно (квадраты вещественных чисел не могут быть отрицательными), и добавление 2 тоже неотрицательно. Следовательно, данное неравенство выполняется для любых значений переменных $x$ и $y$.