Question

ПОМОГИТЕ!!! Какими должны быть стороны прямоугольного участка площадью 1600 м2, чтобы на его ограждение было израсходовано наименьшее количество материала? а) Задайте формулой функцию, для которой необходимо будет найти точку минимума. б) Найдите длины сторон прямоугольника, удовлетворяющие условию задачи.

Answer 1

Пусть х длина. Ширина 1600/х.f(x)-половина периметра.
x+1600/x=f(x)
Надо найти минимум этой функции.
Продифференцируем функцию : 1-1600/(х*х)
Ноль производной при х=40.
Чтобы убедится , что это минимум, млжно взять вторую производную :
1600*2/(х*х*х) -положительна при х=40.
Искомый прямоугольник квадрат со стороной 40 м.

Answer 2

Задача:

Нам необходимо найти стороны прямоугольного участка с площадью 1600 м², чтобы на его ограждение было израсходовано наименьшее количество материала.

Решение:

Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать метод дифференциального исчисления. Для начала, давайте представим стороны прямоугольника как две переменные: x и y. Тогда площадь прямоугольника будет равна произведению этих двух переменных: S = x * y = 1600.

Формула функции:

Для того чтобы найти точку минимума, нам нужно сформулировать функцию, которая будет зависеть от переменных x и y и иметь минимум. В данном случае, функция будет представлять собой периметр прямоугольника. Периметр прямоугольника P = 2x + 2y.

Нахождение точки минимума:

Теперь мы можем сформулировать задачу как нахождение точки минимума функции P = 2x + 2y при условии S = x * y = 1600. Для этого мы можем воспользоваться методом множителей Лагранжа или методом подстановки.

Метод множителей Лагранжа:

Метод множителей Лагранжа позволяет решить задачу оптимизации с ограничениями. В данном случае, наше ограничение - это площадь прямоугольника S = x * y = 1600. Мы можем сформулировать функцию Лагранжа следующим образом:

L(x, y, λ) = 2x + 2y + λ(x * y - 1600),

где λ - множитель Лагранжа.

Решение уравнений:

Теперь нам нужно найти точку минимума функции Лагранжа, то есть значения x, y и λ, при которых градиент функции Лагранжа равен нулю:

∂L/∂x = 2 + λy = 0, ∂L/∂y = 2 + λx = 0, ∂L/∂λ = xy - 1600 = 0.

Решая эти уравнения, мы найдем значения x, y и λ.

Нахождение длин сторон прямоугольника:

После того, как мы найдем значения x и y, мы сможем найти длины сторон прямоугольника, удовлетворяющие условию задачи.

Надеюсь#### Поиск оптимальных сторон прямоугольного участка

Для поиска оптимальных сторон прямоугольного участка, на котором будет израсходовано наименьшее количество материала, нужно использовать математический аппарат дифференциального исчисления.

а) Формула функции для поиска минимума:

Давайте обозначим стороны прямоугольника через x и y. Тогда площадь прямоугольника равна S = x * y, а периметр (или длина ограждения) равен P = 2x + 2y. Мы хотим найти стороны x и y, при которых будет минимальное значение P при фиксированной площади S = 1600 м².

Функция, которую нужно минимизировать, имеет вид: P(x, y) = 2x + 2y

Используя ограничение на площадь, можно выразить одну из переменных через другую: S = x * y y = S / x

Теперь выразим P через одну переменную, например x: P(x) = 2x + 2(S / x)

Это функция, которую нужно минимизировать для нахождения оптимальных значений x и y.

б) Нахождение длин сторон прямоугольника:

Для нахождения длин сторон прямоугольника, удовлетворяющих условию задачи, нужно найти точку минимума функции P(x) = 2x + 2(S / x). Для этого можно воспользоваться производными.

Производная функции P(x) равна: P'(x) = 2 - 2(S / x^2)

Теперь найдем точку, где производная равна нулю: 2 - 2(S / x^2) = 0 2 = 2(S / x^2) 1 = S / x^2 x^2 = S x = √S

Итак, найденное значение x даст точку минимума функции P(x). Подставив его обратно в уравнение для y = S / x, можно найти длины сторон прямоугольника.

Подставим S = 1600 м²: x = √1600 x = 40 м y = 1600 / 40 y = 40 м

Итак, оптимальные стороны прямоугольного участка площадью 1600 м² составляют 40 м и 40 м.