Question

1) (2cosx+1)(2-cosx)=0 2) (1-4sin2xcos2x)(sin6x-1)=0 3) (2√3 - 8sinxcosx)(sin3x+1)=0 4) 4-9tg²3x=0

Answer 1

Решение задания смотри на фотографии

Answer 2

Уравнение 1: (1)+(2cosx+1)(2-cosx)=0

Давайте разберемся с этим уравнением шаг за шагом.

Первое слагаемое равно 1.

Второе слагаемое имеет вид (2cosx+1)(2-cosx). Мы можем раскрыть скобки, чтобы получить:

(2cosx+1)(2-cosx) = 2(2-cosx) + 1(2-cosx) = 4 - 2cosx + 2 - cosx = 6 - 3cosx.

Теперь уравнение становится:

1 + (6 - 3cosx) = 0

Мы можем объединить слагаемые:

7 - 3cosx = 0

Далее, вычтем 7 из обеих частей уравнения:

-3cosx = -7

И, наконец, разделим обе части на -3:

cosx = 7/3

Таким образом, решением уравнения является x, для которого cosx = 7/3.

Уравнение 2: (1-4sin2xcos2x)(sin6x-1)=0

Давайте разберемся с этим уравнением шаг за шагом.

Первое слагаемое имеет вид (1-4sin2xcos2x).

Второе слагаемое имеет вид (sin6x-1).

Мы можем решить это уравнение, используя метод нулевого произведения. Это означает, что если произведение двух факторов равно нулю, то хотя бы один из факторов должен быть равен нулю.

Таким образом, у нас есть два случая:

1) 1-4sin2xcos2x = 0

2) sin6x-1 = 0

Давайте решим каждый случай по отдельности.

1) 1-4sin2xcos2x = 0

Мы можем вынести общий множитель sin2x и получить:

sin2x(1-4cos2x) = 0

Теперь у нас есть два фактора, которые могут быть равны нулю:

sin2x = 0 или 1-4cos2x = 0

a) sin2x = 0

Это уравнение имеет следующие решения:

sin2x = 0 => 2x = 0 или 2x = pi

Таким образом, x может быть равен 0 или pi/2.

b) 1-4cos2x = 0

Добавим 4cos2x к обеим частям и получим:

4cos2x = 1

Теперь разделим обе части на 4:

cos2x = 1/4

Используя формулу двойного угла cos2x = 1 - 2sin²x, мы можем переписать это уравнение:

1 - 2sin²x = 1/4

Вычтем 1/4 из обеих частей:

-2sin²x = -3/4

И, наконец, разделим обе части на -2:

sin²x = 3/8

Теперь возьмем квадратный корень от обеих частей:

sinx = sqrt(3/8)

Решение этого уравнения будет зависеть от диапазона значений x.

2) sin6x-1 = 0

Добавим 1 к обеим частям:

sin6x = 1

Это уравнение имеет следующее решение:

sin6x = 1 => 6x = pi/2 + 2k*pi, где k - целое число.

Таким образом, x может быть равен (pi/12) + (k*pi/6), где k - целое число.

Окончательно, решениями уравнения являются все значения x, которые мы получили в каждом из двух случаев.

Уравнение 3: 2√3 + 8sinxcosx)(sin3x+1)=0

Давайте разберемся с этим уравнением шаг за шагом.

Первое слагаемое имеет вид 2√3 + 8sinxcosx.

Второе слагаемое имеет вид sin3x+1.

Мы можем решить это уравнение, используя метод нулевого произведения. Это означает, что если произведение двух факторов равно нулю, то хотя бы один из факторов должен быть равен нулю.

Таким образом, у нас есть два случая:

1) 2√3 + 8sinxcosx = 0

2) sin3x+1 = 0

Давайте решим каждый случай по отдельности.

1) 2√3 + 8sinxcosx = 0

Мы можем вынести общий множитель 2 и получить:

2(√3 + 4sinxcosx) = 0

Теперь у нас есть два фактора, которые могут быть равны нулю:

√3 + 4sinxcosx = 0 или 2 = 0

Однако, уравнение 2 = 0 не имеет решений.

Таким образом, мы должны решить уравнение √3 + 4sinxcosx = 0.

2) sin3x+1 = 0

Вычтем 1 из обеих частей уравнения:

sin3x = -1

Это уравнение имеет следующее решение:

sin3x = -1 => 3x = -pi/2 + 2k*pi, где k - целое число.

Таким образом, x может быть равен (-pi/6) + (2k*pi/3), где k - целое число.

Окончательно, решениями уравнения являются все значения x, которые мы получили в каждом из двух случаев.

Уравнение 4: 4-9tg²3x=0

Давайте разберемся с этим уравнением шаг за шагом.

tg²3x = 4/9

Мы можем взять квадратный корень из обеих частей уравнения:

tg3x = sqrt(4/9)

Теперь возьмем арктангенс от обеих частей:

3x = arctan(sqrt(4/9))

И, наконец, разделим обе части на 3:

x = (1/3) * arctan(sqrt(4/9))

Таким образом, решением уравнения является x, равный (1/3) * arctan(sqrt(4/9)).