Question

Найди уравнение касательной к графику функции f(x)=(x+1)/(5−x) в точке с абсциссой x0=1.

Answer 1

$\frac{x}{y} f(x)=\dfrac{x+1}{5-x}\ \ ,\ \ x_0=1\\\\f(1)=\dfrac{1+1}{5-1}=\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}\\\\\\f'(x)=\dfrac{5-x+x+1}{(5-x)^2}=\dfrac{6}{(5-x)^2}\ \ ,\ \ f'(1)=\dfrac{6}{4^2}=\dfrac{3}{8}\\\\\underline {\; y=f(x_0)+f'(x_0)\cdot (x-x_0)\; }\\\\y=\dfrac{1}{2}+\dfrac{3}{8}\cdot (x-1)\\\\y=\dfrac{3}{8}\cdot x+\frac{1}{8}\\\\\underline {\; y=0,375\, x+0,125\; }$

Answer 2

Ответ:

y = 3/8x + 1/8

Объяснение:

Уравнение касательной к графику функции f(x) в точке x0:

y = f(x0) + f'(x0) * (x-x0)

Найдем f'(x), используя формулу: (u/v)' = (u'v - v'u)/(v^2)

u = x+1, u' = 1

v = 5-x, v' = -1

(u/v)' = (5-x + x+1)/(5-x)^2 = 6/(5-x)^2

---

Подставляем значения:

y = 2/4 + 6/16 * (x-1)

y = 0.5 + 3/8*(x-1)

y = 0.5 + 3/8x - 3/8

y = 3/8x + 1/8

Answer 3

Для нахождения уравнения касательной к графику функции $f(x) = \frac{x+1}{5-x}$ в точке с абсциссой $x_0 = 1$, мы сначала найдем производную этой функции и затем используем ее для определения уравнения касательной линии.

1. Найдем производную $f(x)$:

$f(x) = \frac{x+1}{5-x}$

Для нахождения производной можно использовать правило дифференцирования частного:

$f'(x) = \frac{(5-x)(1) - (x+1)(-1)}{(5-x)^2}$

Упростим числитель:

$f'(x) = \frac{5-x+x+1}{(5-x)^2} = \frac{6}{(5-x)^2}$

2. Теперь у нас есть производная $f'(x)$. Чтобы найти уравнение касательной линии в точке $x_0 = 1$, подставим $x_0$ в $f(x)$ и $f'(x)$ и используем уравнение касательной линии в виде $y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0)$:

$y = f'(1)(x - 1) + f(1)$

$y = \frac{6}{(5-1)^2}(x - 1) + \frac{1+1}{5-1}$

$y = \frac{6}{16}(x - 1) + \frac{2}{4}$

$y = \frac{3}{8}(x - 1) + \frac{1}{2}$

Таким образом, уравнение касательной к графику функции $f(x) = \frac{x+1}{5-x}$ в точке с абсциссой $x_0 = 1$ имеет вид:

$y = \frac{3}{8}(x - 1) + \frac{1}{2}$