Question

Решить уравнение 1. 2cos^2x+11cosx-6=0 2. sin2x+cosx=0 Упростить 3. 2sin(п/2+x)+cos(п+x)+sin(3п/2-x)

Answer 1

Ответ:1. Пусть cosx=t, тогда

2t^2+11t-6=0

t1=1/2, t2=-6 -не имеет значения

Cosx=1/2

X=±arccos1/2+2πn

X=±π/3+2πn

2.2sinxcosx+cosx=0

Cosx(2sinx+1)=0

Cosx=0 или 2sinx+1=0

X=±π/2+2πn 2sinx=-1

Sinx=-1/2

X=-π/6+πm

3.2cosx-cosx-cosx=cosx(2-1-1)=cos0=1

Объяснение:

Answer 2

Давайте поочередно решим каждое из ваших уравнений и упростим выражение.

1. Уравнение: $2\cos^2(x) + 11\cos(x) - 6 = 0$.

Для решения этого квадратного уравнения воспользуемся методом подстановки. Для начала, давайте заменим $\cos(x)$ на другую переменную, например, $t$. Тогда у нас будет следующее уравнение:

$2t^2 + 11t - 6 = 0$

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение. Давайте воспользуемся квадратным уравнением:

$t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

где $a = 2$, $b = 11$, и $c = -6$. Подставляем значения:

$t = \frac{-11 \pm \sqrt{11^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-6)}}{2 \cdot 2}$

Вычисляем дискриминант:

$D = 11^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-6) = 121 + 48 = 169$

Теперь находим два решения:

$t_1 = \frac{-11 + \sqrt{169}}{4} = \frac{-11 + 13}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

$t_2 = \frac{-11 - \sqrt{169}}{4} = \frac{-11 - 13}{4} = \frac{-24}{4} = -6$

Теперь вернемся к переменной $\cos(x)$. У нас есть два решения:

1. $t_1 = \frac{1}{2}$, что соответствует $\cos(x) = \frac{1}{2}$. Это уравнение имеет два решения: $x_1 = \frac{\pi}{3}$ и $x_2 = \frac{5\pi}{3}$.

2. $t_2 = -6$, что не имеет физического смысла, так как $\cos(x)$ ограничено значениями от -1 до 1, и $\cos(x)$ не может быть равным -6.

Итак, решения уравнения $2\cos^2(x) + 11\cos(x) - 6 = 0$:

$x_1 = \frac{\pi}{3}$ и $x_2 = \frac{5\pi}{3}$.

2. Уравнение: $\sin(2x) + \cos(x) = 0$.

Для решения этого уравнения давайте сначала преобразуем его:

$\sin(2x) + \cos(x) = 0$

$\sin(2x) = -\cos(x)$

Теперь воспользуемся тригонометрической идентичностью $\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)$:

$2\sin(x)\cos(x) = -\cos(x)$

Теперь делим обе стороны на $\cos(x)$ (предполагая, что $\cos(x) \neq 0$, так как это нам не подходит):

$2\sin(x) = -1$

Теперь решим это уравнение:

$\sin(x) = -\frac{1}{2}$

Это уравнение имеет два решения на интервале $[0, 2\pi)$:

$x_1 = \frac{7\pi}{6}$ и $x_2 = \frac{11\pi}{6}$.

3. Упростим выражение: $2\sin\left(\frac{\pi}{2} + x\right) + \cos(\pi + x) + \sin\left(\frac{3\pi}{2} - x\right)$.

Сначала упростим каждый из синусов и косинусов:

$2\sin\left(\frac{\pi}{2} + x\right) = 2\cos(x)$ (пользуясь тригонометрической идентичностью $\sin(\frac{\pi}{2} + x) = \cos(x)$).

$\cos(\pi + x) = -\cos(x)$ (пользуясь тригонометрической идентичностью $\cos(\pi + x) = -\cos(x)$).

$\sin\left(\frac{3\pi}{2} - x\right) = -\cos(x)$ (пользуясь тригонометрической идентичностью $\sin\left(\frac{3\pi}{2} - x\right) = -\cos(x)$).

Теперь подставляем эти результаты в исходное выражение:

$2\cos(x) - \cos(x) - \cos(x) = 0$

$2\cos(x) - 2\cos(x) = 0$

$0 = 0$

Итак, упрощенное выражение равно нулю.