Question

Найти стационарные точки для функции: а) у=2х(в 3 степени) + 3х(в 2 степени) - 12х б) у = х(в 3 степени) + 6х(в 2 степени)

Answer 1

а)

y = 2x³+3x²-12x

y' = 6x²+6x-12 = 6x(x+2)-6(x+2) = 6(x+2)(x-1)

y' = 0 при x=-2 или при x=1

Ответ: -2; 1.

б)

y = x³+6x²

y' = 3x²+12x = 3x(x+4)

y' = 0 при x=0 или при x=-4

Ответ: -4; 0.

Answer 2

Чтобы найти стационарные точки функции, нужно приравнять производную функции к нулю и решить уравнение относительно переменной $x$.

а) Для функции $y = 2x^3 + 3x^2 - 12x$:

1. Найдем производную функции $y$ по $x$: $y' = 6x^2 + 6x - 12$

2. Приравняем производную к нулю и решим уравнение: $6x^2 + 6x - 12 = 0$

3. Решим это уравнение. Воспользуемся, например, методом квадратного корня или формулой квадратного уравнения.

Уравнение имеет вид $ax^2 + bx + c = 0$, где $a = 6$, $b = 6$, и $c = -12$.

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

Подставим значения и решим:

$x = \frac{-6 \pm \sqrt{6^2 - 4(6)(-12)}}{2(6)}$

$x = \frac{-6 \pm \sqrt{36 + 288}}{12}$

$x = \frac{-6 \pm \sqrt{324}}{12}$

$x = \frac{-6 \pm 18}{12}$

Таким образом, получаем два значения $x$.

$x_1 = \frac{-6 + 18}{12} = \frac{12}{12} = 1$

$x_2 = \frac{-6 - 18}{12} = \frac{-24}{12} = -2$

Это значит, что стационарные точки для функции $y$ равны $x = 1$ и $x = -2$.

б) Для функции $y = x^3 + 6x^2$:

1. Найдем производную функции $y$ по $x$: $y' = 3x^2 + 12x$

2. Приравняем производную к нулю и решим уравнение: $3x^2 + 12x = 0$

3. Решим это уравнение. Вынесем общий множитель $3x$: $3x(x + 4) = 0$

Таким образом, получаем два значения $x$:

$x_1 = 0$ и $x_2 = -4$.

Итак, стационарные точки для функции $y$ равны $x = 0$ и $x = -4$.