Question

Найдите все натуральные a,b,c и n, удовлетворяющие уравнению: 2^n=a!+b!+c!​

Answer 1

Ответ:

2^3=1!+1!+3!, 2^2=1!+1!+2!, 2^5=2!+3!+4!,  2^7=2!+3!+5!

Объяснение:

Заметим, что:

1) т.к. n - натуральное, то 2^n четно

2) x! четно для любого натурального x, большего 1 (и правда, ведь в разложении на простые множители будет присутствовать по крайней мере одна 2), а 1!=1 - нечетно

3) Сумма 3 слагаемых a!, b! и c! равна четному числу тогда, и только тогда, когда одно из слагаемых четно, а четности двух других совпадают.

Тогда возможны 2 случая:

1. Два нечетных слагаемых и одно четное. Тогда нечетные слагаемые равны 1! Пусть, без ограничения общности, a=b=1, c>1. Тогда

2^n=2+c! [оценка: 2^n>=2+1=3>2 => n>1]

2(2^(n-1)-1)=c!

Если c>=4, то 2(2^(n-1)-1) делится на (2*4) => (2^(n-1)-1) делится на 4. Но 2^(n-1) для n>1 дает остатки 2 или 0 при делении на 4 => (2^(n-1)-1) дает остатки 1 или 3 при делении на 4, но не 0. Противоречие. А значит с<4.

с=3: 2^(n-1)-1=3 => 2^(n-1)=4 => n-1=2 => n=3

c=2: 2^(n-1)-1=1 => 2^(n-1)=2 => n-1=1 => n=2

2. Все слагаемые четны. Тогда a,b,c>1.

Пусть, без ограничения общности, a<=b<=c. Тогда c! и b! делятся на a!. А тогда и сумма a!+b!+c! делится на a!. Значит и 2^n делится на a!.  

Если a>2, то a! делится на 3 => 2^n делится на 3 - противоречие.  

Значит a=2.

2^n=2+b!+c!, 2<=b<=c [оценка: 2^n>=2+2+2=6>4 => n>2]

Если b>=4, то c>=4. При этом b! и c! кратны (2*4). Тогда 2^n-2=2(2^(n-1)-1) кратно 2*4 => (2^(n-1)-1) кратно 4. По доказанному выше, это невозможно.

Значит b<4.

b=2: 2^n=4+c!, c>=2

4(2^(n-2)-1)=c! , т.е. с! кратно 4. А значит с>=4. Но тогда 4(2^(n-2)-1) кратно (2*4) => (2^(n-2)-1) кратно 2, т.е. нечетное число (т.к. n>2) кратно 2 - противоречие.  

b=3: 2^n=8+c!, c>=3 [оценка: 2^n>=8+6=14>8 => n>3]

8(2^(n-3)-1)=c! , т.е. с! кратно 8. А значит с>=4.

c=4: 8(2^(n-3)-1)=8*3 => 2^(n-3)-1=3 => n-3=2 => n=5

c=5: 8(2^(n-3)-1)=8*15 => 2^(n-3)-1=15 => n-3=4 => n=7

Если c>=6, то с! делится на 2*4*2=8*2. Тогда 8(2^(n-3)-1) делится на 8*2 => (2^(n-3)-1) делится на 2, т.е. нечетное число (т.к. n>3) кратно 2 - противоречие.

Answer 2

Для нахождения всех натуральных a, b, c и n, удовлетворяющих уравнению 2^n = a! + b! + c!, давайте рассмотрим некоторые из его свойств.

1. Факториал a!, b! и c! всегда больше или равен 1 (поскольку факториал 0! равен 1).
2. Таким образом, сумма трех факториалов a! + b! + c! всегда больше или равна 3.
3. Если a, b и c - натуральные числа, то их факториалы также будут натуральными числами.

С учетом этих свойств мы можем сделать следующие наблюдения:

a) Если n < 3, то 2^n всегда меньше 3, и уравнение не имеет решений.

b) Если n = 3, то 2^n = 8, и единственным способом представить 8 в виде суммы трех факториалов - это 8 = 3! + 2! + 2!. Таким образом, одним из решений будет a = b = c = 2, n = 3.

c) Если n > 3, то 2^n будет расти быстрее, чем сумма трех факториалов a! + b! + c!. Таким образом, уравнение не будет иметь решений для n > 3.

Итак, уравнение 2^n = a! + b! + c! имеет следующие решения:

1. a = b = c = 2, n = 3.
2. Нет решений для n > 3.

Пожалуйста, учтите, что это решение основано на математических свойствах факториалов и степеней двойки, и оно может быть проверено путем анализа всех возможных вариантов.