Question

Пусть a, b, c действительные числа больше“-1". Докажите неравенство:(а^2 +b^2+2)(b^2+c^2+2)(c^2+a^2+2)> или равно (a+1)^2*(b+1)^2*(с+ 1)^2​

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

Если

 $a,b,c\in R\\a, b, c \geq -1$

:

То

$(a+1)^2\geq 0\\(b+1)^2\geq 0\\(c+1)^2\geq 0$

Перемножим неравенства.

$(a+1)^2(b+1)^2(c+1)^2\geq 0$

Тогда равносильным будет переход к:

$(a^2+2a+1)(b^2+2b+1)(c^2+2c+1)= (a+1)^2(b+1)^2(c+1)^2\geq 0$

И учитывая что $a, b, c \geq -1$, тогда

$(a^2 +b^2+2)(b^2+c^2+2)(c^2+a^2+2)\geq (a^2 +2a+2)(b^2+2b+2)(c^2+2c+2)\geq (a^2 +2a+1)(b^2+2b+1)(c^2+2c+1)=(a+1)^2(b+1)^2(c+ 1)^2$

Answer 2

Давайте рассмотрим данное неравенство по шагам.

1. Для начала, заметим, что нам даны числа a, b и c, которые больше -1. Это означает, что a, b и c могут быть больше либо равными -1, но они не могут быть меньше, так как в данном случае их квадраты будут всегда положительными числами.

2. Рассмотрим выражение (a^2 + b^2 + 2). Заметим, что оно всегда будет больше или равно 2, так как a^2 и b^2 всегда неотрицательны, и прибавление 2 не меняет этого факта. То же самое верно и для выражений (b^2 + c^2 + 2) и (c^2 + a^2 + 2).

3. Теперь рассмотрим выражение (a + 1)^2. Это выражение всегда будет больше или равно 1, так как a + 1 может быть больше или равно 0 (если a >= -1), и его квадрат также неотрицателен.

4. Аналогично, (b + 1)^2 и (c + 1)^2 также всегда больше или равны 1.

5. Теперь давайте перемножим все эти выражения:

[(a^2 + b^2 + 2)(b^2 + c^2 + 2)(c^2 + a^2 + 2)] / [(a + 1)^2(b + 1)^2(c + 1)^2]

Мы заметили, что числитель этой дроби всегда больше или равен 2 * 2 * 2 = 8, а знаменатель всегда равен (1 * 1 * 1) = 1. Таким образом, наше неравенство выполняется:

[(a^2 + b^2 + 2)(b^2 + c^2 + 2)(c^2 + a^2 + 2)] / [(a + 1)^2(b + 1)^2(c + 1)^2] >= 8 / 1 = 8

Таким образом, неравенство (a^2 + b^2 + 2)(b^2 + c^2 + 2)(c^2 + a^2 + 2) >= (a + 1)^2(b + 1)^2(c + 1)^2 выполняется при условии, что a, b и c больше -1.