Question

Разложить на множителиx³-x²-8x+12​

Answer 1

X^3 - 2x^2 + x^2 - 2x - 6x + 12
x^2(x-2) + x(x-2) - 6(x-2)
(x-2)(x^2 + x - 6)
Вторую скобку выразим через дискриминант:
D= 1-4*(-6)=1+24=25, > 0, тогда
x1= -1-5/2= -3
x2= -1+5/2= 2
Вернёмся к уравнению
(x-2)(x+3)(x-2)
(x-2)^2(x+3)
Ответ: (x-2)^2(x+3).

Answer 2

Чтобы разложить полином $x^3 - x^2 - 8x + 12$ на множители, мы будем искать его рациональные корни с помощью рациональной теоремы о корнях.

Сначала давайте перечислим все возможные рациональные корни полинома. Рациональный корень $p/q$ (где $p$ - делитель свободного члена 12, а $q$ - делитель коэффициента при старшем члене 1) будет удовлетворять уравнению $p/q$. В данном случае, $p$ может быть $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 12$, а $q$ может быть $\pm 1$.

Подставим каждый из этих корней в полином и проверим, равно ли оно нулю:

1. Подставим $x = 1$:

   $1^3 - 1^2 - 8 \cdot 1 + 12 = 1 - 1 - 8 + 12 = 4 \neq 0$

2. Подставим $x = -1$:

   $(-1)^3 - (-1)^2 - 8 \cdot (-1) + 12 = -1 - 1 + 8 + 12 = 18 \neq 0$

3. Подставим $x = 2$:

   $2^3 - 2^2 - 8 \cdot 2 + 12 = 8 - 4 - 16 + 12 = 0$

Итак, мы нашли рациональный корень $x = 2$. Теперь мы можем разделить полином на $x - 2$ с использованием синтетического деления или деления полиномов:

scssCopy code
       x^2 + x - 6
(x - 2) | x^3 - x^2 - 8x + 12
          - (x^3 - 2x^2)
           ______________
                   x^2 - 8x
                   - (x^2 - 2x)
                   ______________
                           -6x + 12
                           - (-6x + 12)
                           ______________
                                     0

Итак, $x^3 - x^2 - 8x + 12$ можно разложить как $(x - 2)(x^2 + x - 6)$.

Теперь разложим $x^2 + x - 6$. Мы видим, что это квадратное уравнение, и можем попробовать разложить его как $(x + 3)(x - 2)$. Проверим:

$(x + 3)(x - 2) = x^2 - 2x + 3x - 6 = x^2 + x - 6$

Итак, исходный полином разлагается как:

$x^3 - x^2 - 8x + 12 = (x - 2)(x + 3)(x - 2)$