Question

Решите неравенство 4/(3х+1)^2 - 8/3x+1 + 3 ⩽ 0 Полное решение пожалуйста)

Answer 1

Ответ:

$x \in [-\frac{1}{9}; \quad \frac{1}{3}]$

Объяснение:

ОДЗ:

$3x+1 \neq 0;$

$3x \neq -1;$

$x \neq -\frac{1}{3};$

Решение:

$\frac{4}{(3x+1)^{2}}-\frac{8}{3x+1}+3 \leq 0 \quad | \quad \cdot (3x+1)^{2} \neq 0;$

$4-8(3x+1)+3(3x+1)^{2} \leq 0;$

$3(9x^{2}+6x+1)-24x-8+4 \leq 0;$

$27x^{2}+18x+3-24x-4 \leq 0;$

$27x^{2}-6x-1 \leq 0;$

Найдём нули функции:

$27x^{2}-6x-1=0;$

$D=b^{2}-4ac;$

$D=(-6)^{2}-4 \cdot 27 \cdot (-1)=36+108=144;$

$x_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a};$

$x_{1}=\frac{-(-6)+\sqrt{144}}{2 \cdot 27}=\frac{6+12}{54}=\frac{18}{54}=\frac{1}{3};$

$x_{2}=\frac{-(-6)-\sqrt{144}}{2 \cdot 27}=\frac{6-12}{54}=\frac{-6}{54}=-\frac{1}{9};$

$x=1 \Rightarrow 27 \cdot 1^{2}-6 \cdot 1-1=27-6-1=20>0;$

$x=0 \Rightarrow 27 \cdot 0^{2}-6 \cdot 0-1=0-0-1=-1$

$-\frac{1}{3}=-\frac{3}{9};$

$x=-\frac{2}{9} \Rightarrow 27 \cdot (-\frac{2}{9})^{2}-6 \cdot (-\frac{2}{9})-1=27 \cdot \frac{4}{81}+6 \cdot \frac{2}{9}-1=\frac{4}{3}+\frac{4}{3}-1=\frac{5}{3}>0;$

$x=-1 \Rightarrow 27 \cdot (-1)^{2}-6 \cdot (-1)-1=27 \cdot 1 +6 \cdot 1-1=27+6-1=32>0;$

$x \in [-\frac{1}{9}; \quad \frac{1}{3}];$

Answer 2

Для решения данного неравенства сначала нужно преобразовать его, чтобы упростить выражение:

4/(3x+1)^2 - 8/(3x+1) + 3 ≤ 0

Сначала заметим, что в числителе обоих дробей есть общий множитель 4, поэтому мы можем вынести его за скобку:

4 * [1/(3x+1)^2 - 2/(3x+1) + 3/4] ≤ 0

Теперь мы можем упростить скобку внутри квадратных скобок. Для этого давайте сначала найдем общий знаменатель:

1/(3x+1)^2 - 2/(3x+1) + 3/4 = (4 - 8(3x+1) + 3(3x+1)^2) / (4(3x+1)^2)

Теперь мы можем объединить числители:

(4 - 8(3x+1) + 3(3x+1)^2) / (4(3x+1)^2) ≤ 0

Сократим на 4:

(1 - 2(3x+1) + 3(3x+1)^2) / (3x+1)^2 ≤ 0

Теперь у нас есть квадрат в знаменателе. Для дальнейшего анализа неравенства мы можем ввести вспомогательную переменную, например, u = (3x+1)^2. Тогда наше неравенство будет выглядеть следующим образом:

(1 - 2u + 3u^2) / u ≤ 0

Чтобы решить это неравенство, мы можем рассмотреть три интервала:

1. u < 0

2. u = 0

3. u > 0

4. u < 0:

Если u < 0, то 1 - 2u + 3u^2 > 0 (так как все коэффициенты положительные), и деление положительного числа на отрицательное число дает отрицательное значение. Таким образом, для этого интервала неравенство не выполняется.

2. u = 0:

Если u = 0, то 1 - 2u + 3u^2 = 1 - 2(0) + 3(0)^2 = 1. Деление положительного числа на ноль не определено, поэтому для этого интервала неравенство также не выполняется.

3. u > 0:

Теперь давайте рассмотрим интервал u > 0. Мы можем преобразовать неравенство, умножив обе стороны на u^2 (заметьте, что u^2 всегда положительно):

(1 - 2u + 3u^2) / u ≤ 0

(1 - 2u + 3u^2) ≤ 0

Теперь найдем корни квадратного уравнения 1 - 2u + 3u^2 = 0:

Для этого можно воспользоваться дискриминантом D:

D = (-2)^2 - 413 = 4 - 12 = -8

Дискриминант отрицателен, что означает, что у нас нет действительных корней, и выражение 1 - 2u + 3u^2 всегда положительно на интервале u > 0.

Итак, неравенство выполняется только на интервале u > 0. Теперь мы должны вернуться к исходной переменной x:

u = (3x+1)^2 > 0

(3x+1)^2 > 0

Теперь мы замечаем, что квадрат числа всегда неотрицательный, и он равен нулю только в случае, если само число равно нулю:

3x+1 = 0

3x = -1

x = -1/3

Итак, полное решение данного неравенства:

x < -1/3

Неравенство выполняется для всех x, которые меньше -1/3.