Question

Спростіть вираз cos4a*cos6a+cos2a+sin4a*sin6a

Answer 1

$Cos4\alpha*Cos6\alpha+Cos2\alpha +Sin4\alpha*Sin6\alpha=\\\\=(Cos4\alpha*Cos6\alpha+Sin4\alpha*Sin6\alpha)+Cos2\alpha=Cos(6\alpha-4\alpha)+Cos2\alpha=\\\\=Cos2\alpha+Cos2\alpha)=\boxed{2Cos2\alpha}$

Answer 2

Для спрощення виразу скористаємось формулами для добутку косинусів і синусів:

cos(x) * cos(y) = 1/2 * [cos(x + y) + cos(x - y)] sin(x) * sin(y) = 1/2 * [cos(x - y) - cos(x + y)]

Застосуємо ці формули до вашого виразу:

cos(4a) * cos(6a) + cos(2a) + sin(4a) * sin(6a) = 1/2 * [cos(4a + 6a) + cos(4a - 6a)] + cos(2a) + 1/2 * [cos(4a - 6a) - cos(4a + 6a)]

Тепер спростимо вираз:

1/2 * [cos(10a) + cos(-2a)] + cos(2a) + 1/2 * [cos(-2a) - cos(10a)]

Також можна використати той факт, що cos(-x) = cos(x):

1/2 * [cos(10a) + cos(2a)] + cos(2a) + 1/2 * [cos(2a) - cos(10a)]

Тепер просто скоротимо подібні доданки:

1/2 * 2 * cos(2a) + cos(2a) + 1/2 * 2 * cos(2a)

Отже, остаточний вираз:

2 * cos(2a) + cos(2a) + cos(2a) = 4 * cos(2a)