Question

Даю все БАЛЛЫ!!!! Помогите пожалуйста!! Упростите выражение:(sin2a+sin4a+sin6a+sin8a)/(cos2a+cos4a+cos6a+cos8a)​

Answer 1

$\dfrac{\sin2\alpha+\sin4\alpha+\sin6\alpha+\sin8\alpha}{\cos2\alpha+\cos4\alpha+\cos6\alpha+\cos8\alpha}=\dfrac{(\sin2\alpha+\sin8\alpha)+(\sin4\alpha+\sin6\alpha)}{(\cos2\alpha+\cos8\alpha)+(\cos4\alpha+\cos6\alpha)}=\\\\\\=\dfrac{2\sin\dfrac{2\alpha+8\alpha}{2}\cos\dfrac{2\alpha-8\alpha}{2}+2\sin\dfrac{4\alpha +6\alpha }{2}\cos\dfrac{4\alpha -6\alpha }{2}}{2\cos\dfrac{2\alpha +8\alpha }{2}\cos\dfrac{2\alpha -8\alpha }{2}+2\cos\dfrac{4\alpha +6\alpha }{2}\cos\dfrac{4\alpha -6\alpha }{2}}=$

$=\dfrac{2\sin5\alpha\cos3\alpha+2\sin5\alpha\cos\alpha}{2\cos5\alpha\cos3\alpha+2\cos5\alpha\cos\alpha}=\dfrac{2\sin5\alpha(\cos3\alpha+\cos\alpha)}{2\cos5\alpha(\cos3\alpha+\cos\alpha)}=\\\\\\=\dfrac{\sin5\alpha}{\cos5\alpha}=tg\,5\alpha$

Answer 2

Для начала, нам нужно использовать тригонометрические тождества, чтобы упростить выражение. Одно из таких тождеств гласит, что сумма синусов или косинусов углов с постоянной разницей равна отношению произведения синуса или косинуса половинной суммы этих углов к произведению синуса или косинуса половинной разности углов.

Таким образом, мы можем применить это тождество к нашему выражению. Давайте приведем числитель и знаменатель к общему знаменателю, который будет равен cos2a:

(sin2a/cos2a + sin4a/cos2a + sin6a/cos2a + sin8a/cos2a)/(cos2a/cos2a + cos4a/cos2a + cos6a/cos2a + cos8a/cos2a)

Теперь мы можем упростить каждое слагаемое в числителе и знаменателе с использованием тождества:

(sin2a/cos2a) = tan2a (sin4a/cos2a) = tan4a (sin6a/cos2a) = tan6a (sin8a/cos2a) = tan8a

(cos2a/cos2a) = 1 (cos4a/cos2a) = cos2a (cos6a/cos2a) = cos4a (cos8a/cos2a) = cos6a

Подставим эти значения обратно в наше выражение:

(tan2a + tan4a + tan6a + tan8a)/(1 + cos2a + cos4a + cos6a)

Теперь мы имеем упрощенное выражение. Если у вас есть конкретные значения для угла a, вы можете вычислить это выражение численно с помощью калькулятора или программы для работы с тригонометрическими функциями.