Question

Вычислите значение выражения, предварительно упростив его, при cos a = -12/13. sin^2 α + tg^2 α + cos^2 α.

Answer 1

Ответ: 169/144

Объяснение:

=(sin^2a+cos^2a)+tg^2a=1+tg^2a= 1/cos^2a =1 : (-12/13)^2=169/144

Answer 2

Дано, что $\cos(a) = -\frac{12}{13}$. Мы можем использовать тригонометрические тождества для упрощения выражения.

1. Используем тождество $\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$:

   $\sin^2(\alpha) = 1 - \cos^2(\alpha)$

2. Также, $\tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}$, поэтому $\tan^2(\alpha) = \frac{\sin^2(\alpha)}{\cos^2(\alpha)}$.

Теперь подставим данные значения в исходное выражение:

$\sin^2(\alpha) + \tan^2(\alpha) + \cos^2(\alpha)$

$= (1 - \cos^2(\alpha)) + \frac{\sin^2(\alpha)}{\cos^2(\alpha)} + \cos^2(\alpha)$

Теперь подставим значения:

$= \left(1 - \left(-\frac{12}{13}\right)^2\right) + \frac{(1 - \cos^2(\alpha))}{\cos^2(\alpha)} + \left(-\frac{12}{13}\right)^2$

$= 1 - \frac{144}{169} + \frac{1 - \cos^2(\alpha)}{\cos^2(\alpha)} + \frac{144}{169}$

$= 1 - \frac{144}{169} + \frac{1}{\cos^2(\alpha)} - \frac{\cos^2(\alpha)}{\cos^2(\alpha)} + \frac{144}{169}$

Теперь заметим, что $\frac{1}{\cos^2(\alpha)} = \sec^2(\alpha)$, и у нас есть тождество $\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$. Подставим это:

$= 1 - \frac{144}{169} + \sec^2(\alpha) - 1 + \frac{144}{169}$

Теперь многие термины упрощаются:

$= \frac{144}{169} + \sec^2(\alpha)$

Теперь подставим значение $\cos(a) = -\frac{12}{13}$. Заметим, что $\sec(\alpha) = \frac{1}{\cos(\alpha)}$:

$= \frac{144}{169} + \left(-\frac{13}{12}\right)^2$

$= \frac{144}{169} + \frac{169}{144}$