Question

Найдите наименьшее и наибольшее значения функции: a) y= 3x^4 + 4x^3 + 1 на отрезке [-2;1] б) y= 2sinx + sin 2x на отрезке [0; 3П/2]

Answer 1

y'=3*4x^3+4*3x^2=3x^3+12x^2     12x^3+12x^2=0      12x^2(x+1)=0     x=0        x=-1

y(0)=3*0+4*0+1=1

y(-1)=3*1+4*(-1)+1=3-4+1=0

y(-2)=3*16+4*(-8)+1=48-32+1=17 

y(1)=3+4+1=8

y наим=0

унаиб=17

б)y'= 2cosx+2sinx cosx          2cosx(1+sinx)=0    cosx=0 или         sinx=-1

                                                                                     x=pi/2+pi n                      x=-pi/2+pi n

x [0;3pi/2]    x=pi/2    3pi/2

y(pi/2)=2sinpi/2+sin(2*pi/2)=2+0=2

y(3pi/2)=2sin(3pi/2)+sin^2 (3pi)=-2+0=-2

у наиб=2     унаим=-2

  

Answer 2

Нахождение наименьшего и наибольшего значений функций

Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функций на заданных отрезках необходимо применить методы анализа функций, такие как нахождение экстремумов и использование свойств тригонометрических функций. Давайте разберемся с каждой функцией по отдельности.

a) y = 3x^4 + 4x^3 + 1 на отрезке [-2;1]

Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции на данном отрезке необходимо найти критические точки и значения функции на концах отрезка.

1. Найдем производную функции y по x: y' = 12x^3 + 12x^2

2. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: 12x^3 + 12x^2 = 0 12x^2(x + 1) = 0 x = 0, x = -1

3. Найдем значения функции в найденных критических точках и на концах отрезка: y(-2) = 3*(-2)^4 + 4*(-2)^3 + 1 y(-1) = 3*(-1)^4 + 4*(-1)^3 + 1 y(0) = 3*0^4 + 4*0^3 + 1 y(1) = 3*1^4 + 4*1^3 + 1

4. Сравним полученные значения и определим наименьшее и наибольшее: Наименьшее значение: min(y(-2), y(-1), y(0), y(1)) Наибольшее значение: max(y(-2), y(-1), y(0), y(1))

б) y = 2sinx + sin(2x) на отрезке [0; 3П/2]

Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции на данном отрезке также используем анализ функций и значения в критических точках.

1. Найдем производную функции y по x: y' = 2cosx + 2cos(2x)

2. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: 2cosx + 2cos(2x) = 0

3. Найдем значения функции в найденных критических точках и на концах отрезка: y(0), y(3П/2)

4. Сравним полученные значения и определим наименьшее и наибольшее: Наименьшее значение: min(y(0), y(3П/2)) Наибольшее значение: max(y(0), y(3П/2))

Давайте начнем с вычисления найденных значений.