Question

Запишите в тригонометрической форме комплексное число z, укажите его главный аргумент: А) z=1+i Б) z=1−i

Answer 1

Ответ:

$a) \ z=\sqrt{2}(\cos \frac{\pi}{4} +i \sin \frac{\pi}{4}) \\ \\ Arg(z)=\frac{\pi}{4} \\ \\ b) \ z=\sqrt{2}\left(\cos \left(-\frac{\pi}{4}\right) +i \sin \left(-\frac{\pi}{4}\right)\right) \\ \\ Arg(z)=-\frac{\pi}{4}$

Объяснение:

$z=r(\cos \varphi +i \sin \varphi)$

$a) \ z=1+i \\ \\ r=|z|=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2} \\ \\ \varphi=arctg\frac{1}{1}=arctg1=\frac{\pi}{4} \\ \\ z=\sqrt{2}(\cos \frac{\pi}{4} +i \sin \frac{\pi}{4})$

$b) \ z=1-i \\ \\ r=|z|=\sqrt{1^2+(-1)^2}=\sqrt{2} \\ \\ \varphi=-arctg\frac{1}{1}=-arctg1=-\frac{\pi}{4} \\ \\ z=\sqrt{2}\left(\cos \left(-\frac{\pi}{4}\right) +i \sin \left(-\frac{\pi}{4}\right)\right)$

Answer 2

Для записи комплексных чисел в тригонометрической форме, вы можете использовать следующие формулы:

1. Для числа z = a + bi, где a - это действительная часть, а b - мнимая часть:

   Модуль |z| вычисляется как: |z| = √(a² + b²). Главный аргумент arg(z) (также известный как аргумент фазы) вычисляется как: arg(z) = arctan(b/a).

2. Теперь давайте рассмотрим ваши числа:

   А) z = 1 + i a = 1, b = 1 |z| = √(1² + 1²) = √2

   arg(z) = arctan(1/1) = arctan(1) = π/4

   Таким образом, комплексное число z = 1 + i в тригонометрической форме будет иметь модуль |z| = √2 и главный аргумент arg(z) = π/4.

   Б) z = 1 - i a = 1, b = -1 |z| = √(1² + (-1)²) = √2

   arg(z) = arctan((-1)/1) = arctan(-1) = -π/4

   Таким образом, комплексное число z = 1 - i в тригонометрической форме будет иметь модуль |z| = √2 и главный аргумент arg(z) = -π/4.