Question

Представьте комплексное число в тригонометрической форме. В ответе укажите модуль комплексного числа и его аргумент (в градусах) через точку с запятой без пробелов z=корень из 3+i

Answer 1

Комплексное число вида: z = a + bi - в тригонометрической форме будет записан следующим образом:

z = |z|(cosφ + i·sinφ)

$z = \sqrt{a^2+b^2}$

Угол φ находится в зависимости от значений коэффициентов a и b

Если a > 0     $\;\; \varphi = arctg\frac{b}{a}$

Если a < 0 и b > 0   $\;\; \varphi = \pi + arctg\frac{b}{a}$

Если a < 0 и b < 0   $\;\; \varphi = -\pi + arctg\frac{b}{a}$

$z = \sqrt{3} + 1\cdot i\\|z| = \sqrt{(\sqrt3)^2+1^2} = \sqrt{3+1} = \sqrt4 = 2\\\\a = \sqrt3 > 0 \Rightarrow \;\; \varphi = arctg\frac{1}{\sqrt3} = arctg\frac{\sqrt3}{3}\\\varphi = \frac{\pi}{6} = 30^\circ \\\\z = 2(cos30^\circ+i\cdot sin30^\circ)$

Ответ: |z| = 2, φ = 30°

Answer 2

Чтобы представить комплексное число в тригонометрической форме, необходимо найти его модуль и аргумент. Для числа z = √3 + i, выполним следующие шаги:

Шаг 1: Найдем модуль комплексного числа z: Модуль комплексного числа z = |z| = √(Re(z)^2 + Im(z)^2), где Re(z) - действительная часть числа z (Re(z) = √3), Im(z) - мнимая часть числа z (Im(z) = 1).

|z| = √(√3^2 + 1^2) = √(3 + 1) = √4 = 2.

Шаг 2: Найдем аргумент комплексного числа z: Аргумент комплексного числа z = arg(z) = arctan(Im(z)/Re(z)), где arctan - тангенс обратной функции (арктангенс).

arg(z) = arctan(1/√3) ≈ 30.96°.

Таким образом, комплексное число z = √3 + i в тригонометрической форме записывается как: z = 2∠30.96°.