Question

Найдите наибольшее и наименьшее значение выражения 7cos^2a-5sin^2a

Answer 1

$7\cos^2a-5\sin^2a$

Запишем основное тригонометрическое тождество:

$\cos^2a+\sin^2a=1$

Выразим из него квадрат како-либо величины, например, синуса:

$\sin^2a=1-\cos^2a$

Подставим получившееся соотношение в наше выражение:

$7\cos^2a-5\sin^2a=7\cos^2a-5(1-\cos^2a)=$

$=7\cos^2a-5+5\cos^2a=12\cos^2a-5$

Вспомним, что косинус принимает значения из отрезка от -1 до 1. Тогда, оценим получившееся выражение:

$-1\leq \cos a\leq 1$

$0\leq \cos^2 a\leq 1$

$12\cdot 0\leq 12\cos^2 a\leq 12\cdot1$

$0\leq 12\cos^2 a\leq 12$

$0-5\leq 12\cos^2 a-5\leq 12-5$

$-5\leq 12\cos^2 a-5\leq 7$

Таким образом, наибольшее и наименьшее значения найдены:

$\max=7$

$\min=-5$

Answer 2

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений выражения $7\cos^2(a) - 5\sin^2(a)$, давайте воспользуемся тригонометрическими идентичностями и преобразуем его. Используем следующие тригонометрические идентичности:

1. $\cos^2(a) = 1 - \sin^2(a)$

Теперь мы можем заменить $\cos^2(a)$ в исходном выражении:

$7(1 - \sin^2(a)) - 5\sin^2(a)$

Раскроем скобки:

$7 - 7\sin^2(a) - 5\sin^2(a)$

Теперь объединим похожие члены:

$7 - 12\sin^2(a)$

Это выражение является квадратным относительно $\sin^2(a)$, и его максимальное значение будет при минимальном значении $\sin^2(a)$, а минимальное значение - при максимальном значении $\sin^2(a)$.

Максимальное значение $\sin^2(a)$ равно 1 (когда $\sin(a) = 1$), и в этом случае выражение будет равно:

$7 - 12 \cdot 1 = -5$

Минимальное значение $\sin^2(a)$ равно 0 (когда $\sin(a) = 0$), и в этом случае выражение будет равно:

$7 - 12 \cdot 0 = 7$

Итак, наибольшее значение выражения $7\cos^2(a) - 5\sin^2(a)$ равно 7, а наименьшее значение равно -5.