Question

Биссектрисы углов A и B параллелограмма ABCD пересекаются в точке F стороны CD. Докажите, что F — середина CD.

Answer 1

Продолжим ВF до пересечения со стороной АD.Пусть точка пересения L. Рассмотрим 2 треугольника BCF и DFL.Угол CBF=FLD(накрест лежащие).
Угол CBF=DFL(вертикальные).BF=FL,ПО 2 признаку равенства треугольников треугольник BCF=FLD,следовательно CF=FD. F-середина СD

Answer 2

Для доказательства, что точка F является серединой стороны CD параллелограмма ABCD, мы можем воспользоваться свойством биссектрисы угла.

Свойство биссектрисы угла: Биссектриса угла делит его противоположную сторону на две равные части.

Давайте рассмотрим параллелограмм ABCD и точку F, где биссектрисы углов A и B пересекаются.

Доказательство:

1. Пусть биссектриса угла A пересекает сторону CD в точке F. Пусть также точка F делит сторону CD на две части, DF и FC.


2. Докажем, что DF = FC.

Предположим, что DF ≠ FC. Тогда одна из этих частей должна быть больше другой.

3. Рассмотрим угол A. Биссектриса угла A делит его на два равных угла, ADF и AFC.


4. В треугольнике ADF угол ADF равен половине угла A. В треугольнике AFC угол AFC также равен половине угла A.

 

5. Так как биссектриса угла делит его противоположную сторону на две равные части, то сторона DF должна быть равна стороне FC. То есть DF = FC.

 

6. Но мы предположили, что DF ≠ FC, что противоречит нашему выводу. Следовательно, предположение неверно и DF = FC.

Это означает, что точка F действительно делит сторону CD на две равные части.

7. Поскольку F делит сторону CD пополам, то F является серединой стороны CD.

Таким образом, мы доказали, что точка F является серединой стороны CD параллелограмма ABCD.