Question

Докажите, что значение выражения (5n-7)(6n-1+57n-7 при всех натуральных значениях n кратно 10.

Answer 1

Ответ:

10 n (3 n + 1) mod 10 = 0

Объяснение:

(5 n - 7) (6 n - 1) + 57 n - 7 = 10 n (3 n + 1)

Answer 2

Для доказательства того, что выражение $(5n-7)(6n-1+57n-7)$ кратно 10 при всех натуральных значениях $n$, мы можем воспользоваться методом математической индукции.

Пусть $P(n)$ - утверждение, что выражение $(5n-7)(6n-1+57n-7)$ кратно 10.

Шаг 1: Проверка базового случая

При $n=1$:

$$(5(1)-7)(6(1)-1+57(1)-7) = (5-7)(6-1+57-7) = (-2)(55) = -110,$$

что кратно 10, так как делится на 10 без остатка.

Шаг 2: Предположение индукции

Предположим, что утверждение $P(k)$ верно для некоторого положительного целого числа $k$, т.е.,

$$(5k-7)(6k-1+57k-7) \text{ кратно 10.}$$

Шаг 3: Доказательство для $k+1$

Рассмотрим выражение при $n=k+1$:

$$(5(k+1)-7)(6(k+1)-1+57(k+1)-7) = (5k+5-7)(6k+6-1+57k+57-7).$$

Раскроем скобки:

$$(5k-2)(62k+56).$$

Теперь рассмотрим два случая:

Случай 1: $k$ четное

Если $k$ четное, то $5k-2$ - четное число, и, следовательно, кратно 2. Также, $62k+56$ - четное число, и, следовательно, кратно 2. Поэтому произведение $(5k-2)(62k+56)$ кратно 4.

Случай 2: $k$ нечетное

Если $k$ нечетное, то $5k-2$ - нечетное число, и, следовательно, кратно 2. Также, $62k+56$ - четное число, и, следовательно, кратно 2. Поэтому произведение $(5k-2)(62k+56)$ кратно 4.

Таким образом, в обоих случаях выражение $(5k-2)(62k+56)$ кратно 4.

Так как $4 \times 10 = 40$, и оба случая (четный и нечетный) дают кратность 4, и, следовательно, кратность 40. Таким образом, утверждение $P(k+1)$ верно.

Исходя из принципа математической индукции, утверждение $P(n)$ верно для всех натуральных значений $n$, и выражение $(5n-7)(6n-1+57n-7)$ кратно 10 при всех натуральных значениях $n$.