Question

Помогите решить! !! 16cosx-11sinx-4=0

Answer 1

$16cosx-11sinx-4=0\\\\16cosx-11sinx=4$

Найдём сумму квадратов коэффициентов, стоящих перед cosx и sinx:
16²+11²=377 . Теперь разделим обе части уравнения на √377:

$\frac{16}{\sqrt{377}}cosx-\frac{11}{\sqrt{377}}sinx=\frac{4}{\sqrt{377}}$

Так как  $( \frac{16}{\sqrt{377}})^2 + (\frac{11}{\sqrt{377}})^2= \frac{16^2+11^2}{377} =1,$ то можно полагать, что

 $sin \alpha =\frac{16}{\sqty{377}}>0,\; \; cos \alpha =\frac{11}{\sqrt{377}}>0$ ,

так как  $sin^2 \alpha +cos^2 \alpha =1$ , при этом $\alpha =arctg\frac{16}{11}\; ,\; \; 0\ \textless \ \alpha \ \textless \ \frac{\pi}{2}$.

Получили формулу: $sin \alpha \cdot cosx-cos \alpha \cdot sinx=\frac{4}{\sqrt{377}}$ 

$sin( \alpha -x)=\frac{4}{\sqrt{377}}\\\\ \alpha -x=(-1)^{n}arcsin\frac{4}{\sqrt{377}} +\pi n\; ,\; n\in Z\\\\x= \alpha -(-1)^{n}arcsin\frac{4}{\sqrt{377}}-\pi n\\\\x=arctg\frac{16}{11}+(-1)^{n+1}arcsin\frac{4}{\sqrt{377}}+\pi n\; ,\; n\in Z$

Answer 2

Для решения уравнения 16cos(x) - 11sin(x) - 4 = 0 используем тригонометрические тождества и методы решения уравнений. Мы можем воспользоваться тождеством \(\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1\) для перехода от синуса к косинусу. Давайте начнем с этого.

Переход от синуса к косинусу

Заметим, что \(\sin^2(x) = 1 - \cos^2(x)\). Подставим это выражение в исходное уравнение:

\[16\cos(x) - 11\sqrt{1 - \cos^2(x)} - 4 = 0\]

Замена переменной

Для удобства введем новую переменную \(u = \cos(x)\), тогда уравнение примет вид:

\[16u - 11\sqrt{1 - u^2} - 4 = 0\]

Квадратное уравнение

Теперь мы можем рассматривать уравнение \(16u - 11\sqrt{1 - u^2} - 4 = 0\) как квадратное уравнение относительно переменной \(u\). Решим это уравнение относительно \(u\).

\[16u - 11\sqrt{1 - u^2} = 4\] \[16u = 11\sqrt{1 - u^2} + 4\] \[256u^2 = 121(1 - u^2) + 88\sqrt{1 - u^2} + 16\] \[377u^2 - 121 = 88\sqrt{1 - u^2}\] \[(377u^2 - 121)^2 = 7744(1 - u^2)\] \[142129u^4 - 95634u^2 + 14641 = 7744 - 7744u^2\] \[142129u^4 - 17890u^2 + 6903 = 0\]

Решение квадратного уравнения

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно \(u^2\). Решим его с помощью дискриминанта:

\[D = (-17890)^2 - 4*142129*6903\] \[D = 320416100 - 394468532\] \[D = -741523432\]

Так как дискриминант отрицателен, у нас нет действительных корней для \(u^2\), а, следовательно, и для \(u\). Это означает, что исходное уравнение 16cos(x) - 11sin(x) - 4 = 0 не имеет действительных решений.

Если у вас есть какие-либо вопросы или вы хотели бы уточнить что-то еще, пожалуйста, дайте мне знать!