Question

Верно ли равенство:1) cos100° cos110° + cos20 cos10° = cos10°;;​

Answer 1

Ответ:

Cos 100=-sin10

Cos110=-sin20

Cos20cos10+sin10sin20=cos(20-10)=cos10

Answer 2

Чтобы проверить верность данного утверждения, давайте воспользуемся тригонометрическими тождествами.

Имеем уравнение: $\cos(100^\circ) \cos(110^\circ) + \cos(20^\circ) \cos(10^\circ) = \cos(10^\circ)$

Используем формулу для произведения косинусов: $\cos(a) \cos(b) = \frac{1}{2} [\cos(a-b) + \cos(a+b)]$

Подставим это в уравнение: $\frac{1}{2} [\cos(100^\circ - 110^\circ) + \cos(100^\circ + 110^\circ)] + \frac{1}{2} [\cos(20^\circ - 10^\circ) + \cos(20^\circ + 10^\circ)] = \cos(10^\circ)$

Упростим и рассмотрим каждый член отдельно: $\frac{1}{2} [\cos(-10^\circ) + \cos(210^\circ)] + \frac{1}{2} [\cos(10^\circ) + \cos(30^\circ)] = \cos(10^\circ)$

Теперь посчитаем значения косинусов: $\frac{1}{2} [\cos(-10^\circ) + \cos(210^\circ)] + \frac{1}{2} [\cos(10^\circ) + \frac{\sqrt{3}}{2}] = \cos(10^\circ)$

Учтем, что $\cos(-x) = \cos(x)$: $\frac{1}{2} [\cos(10^\circ) + \cos(210^\circ)] + \frac{1}{2} [\cos(10^\circ) + \frac{\sqrt{3}}{2}] = \cos(10^\circ)$

Теперь вычислим значения: $\frac{1}{2} [\cos(10^\circ) - \frac{\sqrt{3}}{2}] + \frac{1}{2} [\cos(10^\circ) + \frac{\sqrt{3}}{2}] = \cos(10^\circ)$

Обратите внимание, что части с $\frac{\sqrt{3}}{2}$ сокращаются: $\cos(10^\circ) = \cos(10^\circ)$

Таким образом, утверждение верно: $\cos(100^\circ) \cos(110^\circ) + \cos(20^\circ) \cos(10^\circ) = \cos(10^\circ)$