Question

ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ Третий член знакочередующейся геометрической прогрессии (bₙ) равен 1/4, а пятый член равен 25/16. Чему равен четвёртый член этой прогрессии? Ответ запишите в виде десятичной дроби

Answer 1

Ответ:

0,625

Объяснение:  bₙ₋₁ · bₙ₊₁ = bₙ²

Answer 2

Давайте обозначим первый член этой геометрической прогрессии как $a$ (заметьте, что это не третий член, а первый), а знаменатель знакочередующегося знаменателя как $q$.

Из условия задачи у нас есть следующая информация:

1. Третий член: $b_3 = \dfrac{a}{q^2} = \dfrac{1}{4}$.
2. Пятый член: $b_5 = \dfrac{a}{q^4} = \dfrac{25}{16}$.

Мы можем выразить $a$ через $q$ из первого уравнения:

$$a = \dfrac{q^2}{4}.$$

Теперь мы можем подставить это значение $a$ во второе уравнение:

$$\dfrac{q^2}{q^4} = \dfrac{25}{16}.$$

Упрощаем левую часть:

$$\dfrac{1}{q^2} = \dfrac{25}{16}.$$

Переворачиваем обе части уравнения:

$$q^2 = \dfrac{16}{25}.$$

Извлекаем квадратный корень:

$$q = \pm \dfrac{4}{5}.$$

Так как это знакочередующаяся прогрессия, $q$ не может быть отрицательным. Таким образом, $q = \dfrac{4}{5}$.

Теперь мы можем найти $a$:

$$a = \dfrac{q^2}{4} = \dfrac{\left(\dfrac{4}{5}\right)^2}{4} = \dfrac{16}{100 \cdot 4} = \dfrac{1}{25}.$$

Теперь, чтобы найти четвертый член $b_4$, мы можем использовать выражение $b_4 = \dfrac{a}{q^3}$:

$$b_4 = \dfrac{\dfrac{1}{25}}{\left(\dfrac{4}{5}\right)^3} = \dfrac{1}{25} \cdot \dfrac{125}{64} = \dfrac{5}{16} \approx 0.3125.$$

Итак, четвертый член этой прогрессии равен приблизительно $0.3125$.