Question

Найти производную y= sqrt(x^2-1)/x-arcsin1/x

Answer 1

$y=\frac{\sqrt{x^2-1}}{x-arcsin\frac{1}{x}}\\\\y'= \frac{\frac{2x}{2 \sqrt{x^2-1}}\cdot (x-arcsin\frac{1}{x})-\sqrt{x^2-1}\cdot (1-\frac{1}{\sqrt{{1-\frac{1}{x^2}}}}\cdot (-\frac{1}{x^2}))}{(x-arcsin\frac{1}{x})^2}=\\\\= \frac{x^2(x-arcsin\frac{1}{x})-x(x^2-1)-\sqrt{x^2-1}}{x\sqrt{x^2-1}(x-arcsin\frac{1}{x})^2}$

Answer 2

Для нахождения производной функции y= sqrt(x^2-1)/x - arcsin(1/x), нужно использовать правила дифференцирования для составных функций и обратных тригонометрических функций.

1. Начнем с первой части функции y= sqrt(x^2-1)/x. Для начала выразим её как x^(2-1/2)/x = x^(1-1/2) = x^(1/2). Затем найдем производную этой части функции: y' = (1/2)x^(-1/2) = 1/(2*sqrt(x)).

2. Теперь найдем производную arcsin(1/x). По правилу дифференцирования обратной тригонометрической функции, производная arcsin(u) равна u' / sqrt(1 - u^2), где u = 1/x. Таким образом, производная arcsin(1/x) равна (-1/x^2) / sqrt(1 - (1/x)^2) = -1/(x^2*sqrt(1 - 1/x^2)).

3. Теперь сложим производные двух частей функции: y' = 1/(2*sqrt(x)) - 1/(x^2*sqrt(1 - 1/x^2)).

Таким образом, мы получили производную функции y= sqrt(x^2-1)/x - arcsin(1/x), которая равна 1/(2*sqrt(x)) - 1/(x^2*sqrt(1 - 1/x^2)).