Question

Дана функция f(x)=x²/2 +8/x² 1)найти критические точки ф.у 2)определите промежуток монотонности

Answer 1

Ответ:

$f(x)=\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{8}{x^2}\ \ ,\ \ \ \ OOF:\ x\ne 0\ \ ,\\\\f'(x)=\dfrac{1}{2}\cdot 2x+\dfrac{-8\cdot 2x}{x^4}=x-\dfrac{16}{x^3}=\dfrac{x^4-16}{x^3}=\dfrac{(x-2)(x+2)(x^2+4)}{x^3}\ ,\\\\f'(x)=0\ \ \Rightarrow \ \ \ x_1=-2\ ,\ x_2=2\ \ ,\ \ \ x\ne 0\ ,\\\\znaki\ f'(x):\ \ ---(-2)+++(0)---(2)+++\\{}\qquad \qquad \qquad \quad \, \searrow \ \ (-2)\ \ \nearrow \ \ \ (0)\ \ \searrow \ \ \ (2)\ \ \nearrow \\{}\qquad \qquad \qquad \qquad \quad \ \, min\qquad \qquad \qquad \ \, \quad \min$

1)  Критические точки:  $x=-2\ ,\ x=2\ \ ,\ \ y(-2)=y(2)=4$  ,

   $A(-2;4)\ ,\ B(-2;4)$

2)  Функция возрастает при  $x\in [-2;0)$  и  $x\in [\ 2\ ;+\infty \, )$  ,

    убывает при  $x\in (-\infty ;-2\ ]$   и   $x\in (\ 0\ ;\ 2\ ]$  .

Answer 2

Внутренние точки области определения, в которых производная не существует или равна нулю - это критические точки.

D(у)=(-∞;0)∪(0;+∞)

у'=2x/2+8*(-2x⁻³)=x-16/x³=(-16+x⁴)/x³; В точке х=0 производная не существует, но она не из области определения. поэтому -16+х⁴=0;

(-4+х²)*(4+х²)=0; 4+х²≠0; -4+х²=0; х=±2;

х=±2- критические точки.

2) определим промежутки возрастания и убывания функции, то есть промежутки монотонности.

_____-2 ________0________2________

-                 +                  -              +

Функция убывает на промежутках (-∞; -2] и  (0;2] и возрастает на [-2;0) И [2;+∞)

Answer 3

Для найти критические точки функции $f(x)$, мы должны найти её производную и найти значения $x$, при которых производная равна нулю или не существует. Затем мы определим промежутки монотонности, анализируя знак производной в этих точках.

1. Найдем производную функции $f(x)$:

$f(x) = \frac{x^2}{2} + \frac{8}{x^2}$

$f'(x) = \frac{d}{dx}\left(\frac{x^2}{2}\right) + \frac{d}{dx}\left(\frac{8}{x^2}\right)$

$f'(x) = \frac{1}{2} \cdot 2x - 8 \cdot (-2)x^{-3}$

$f'(x) = x + \frac{16}{x^3}$

Теперь найдем критические точки, приравнивая производную к нулю:

$x + \frac{16}{x^3} = 0$

Умножим обе стороны на $x^3$ и получим:

$x^4 + 16 = 0$

Теперь выразим $x^4$:

$x^4 = -16$

$x = \pm \sqrt[4]{-16}$

Так как четвертый корень из отрицательного числа является комплексным числом, то у функции $f(x)$ нет критических точек в действительных числах.

2. Чтобы определить промежутки монотонности функции $f(x)$, давайте проанализируем знак её производной $f'(x)$ в разных интервалах:

a) Если $x > 0$, то $x$ положительно, и $\frac{16}{x^3}$ также положительно (так как $x^3$ положительно при $x > 0$). Таким образом, $f'(x) > 0$ для $x > 0$, и функция $f(x)$ монотонно возрастает на этом интервале.

b) Если $x < 0$, то $x$ отрицательно, и $\frac{16}{x^3}$ также отрицательно (так как $x^3$ отрицательно при $x < 0$). Таким образом, $f'(x) < 0$ для $x < 0$, и функция $f(x)$ монотонно убывает на этом интервале.

c) Мы уже определили, что у функции нет критических точек в действительных числах. Поэтому нет интервалов монотонности в окрестности нуля.

Итак, функция $f(x)$ монотонно возрастает при $x > 0$ и монотонно убывает при $x < 0$.

Answer 4

Для нахождения критических точек функции f(x) и определения промежутков монотонности, первым шагом найдем производную f'(x) функции f(x) и приравняем ее к нулю, чтобы найти критические точки:

1. Найдем производную функции f(x):

f(x) = x²/2 + 8/x²

f'(x) = (1/2) * 2x - 8 * (-2)/x³ f'(x) = x + 16/x³

2. Теперь найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

x + 16/x³ = 0

Умножим обе стороны на x³, чтобы избавиться от дроби:

x⁴ + 16 = 0

Теперь выразим x⁴:

x⁴ = -16

Чтобы найти x, извлечем корень четвертой степени с обеих сторон:

x = ±√(-16)

Так как корень из отрицательного числа вещественных числах не существует, то уравнение не имеет действительных корней. Это означает, что у функции f(x) нет критических точек на вещественной числовой оси.

3. Теперь определим промежутки монотонности функции. Так как у нас нет критических точек, функция f(x) не меняет свой знак на вещественной числовой оси. Это значит, что она будет монотонной на всей своей области определения.

Таким образом, функция f(x) = x²/2 + 8/x² монотонна на всей вещественной числовой оси.