Question

А) Решите уравнение sin³x + cos³x = sin²x + cos²x б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [; ]

Answer 1

sin²x + cos²x=1

sin³x + cos³x =(sinx+cosx)(sin²x -sinx·cosx+ cos²x)=(sinx+cosx)(1 -sinx·cosx)

Уравнение принимает вид:

(sinx+cosx)(1 -sinx·cosx)=1

См. графическое решение

x=2πn,  n∈Z

x=(π/2)+2πk, k∈Z

Answer 2

Давайте начнем с решения уравнения sin³x + cos³x = sin²x + cos²x.

а) sin³x + cos³x = sin²x + cos²x

Мы можем использовать тригонометрическое тождество для раскрытия кубов синуса и косинуса:

(sinx + cosx)(sin²x - sinxcosx + cos²x) = sin²x + cos²x

Теперь мы можем упростить уравнение:

(sin²x - sinxcosx + cos²x) = sin²x + cos²x

Теперь давайте выразим sin²x + cos²x через известное тождество, что оно равно 1:

(sin²x - sinxcosx + cos²x) = 1

Теперь мы видим, что sin²x и cos²x сокращаются:

1 - sinxcosx = 1

Теперь выразим sinxcosx через известное тождество sin(2x) = 2sinxcosx:

1 - (1/2)sin(2x) = 1

Теперь выразим sin(2x) через известное тождество:

sin(2x) = 2sinxcosx

Теперь у нас есть следующее уравнение:

1 - (1/2)(2sinxcosx) = 1

1 - sinxcosx = 1

Теперь выразим sinxcosx через известное тождество:

sin(2x) = 2sinxcosx

2sinxcosx = 0

Теперь мы можем найти корни уравнения:

1. sinx = 0
2. cosx = 0

Для первого уравнения sinx = 0, решениями будут x = 0, x = π, x = 2π и так далее.

Для второго уравнения cosx = 0, решениями будут x = π/2, x = 3π/2, x = 5π/2 и так далее.

Теперь давайте укажем корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [0, 2π]:

Из первого уравнения на отрезке [0, 2π] корни: x = 0, x = π, x = 2π.

Из второго уравнения на отрезке [0, 2π] корни: x = π/2, x = 3π/2.

Итак, корни уравнения sin³x + cos³x = sin²x + cos²x, принадлежащие отрезку [0, 2π], это x = 0, x = π/2, x = π, x = 3π/2 и x = 2π.