Question

ОЧень прошу, помогите cos^4 2x + 6cos^2 2x=25/16 на промежутке [0;π/2]

Answer 1

Решение задания прилагаю

Answer 2

Давайте решим уравнение cos^4(2x) + 6cos^2(2x) = 25/16 на заданном промежутке [0; π/2].

Для начала, заметим, что данное уравнение можно представить в более простом виде, если введем замену. Пусть y = cos^2(2x). Тогда уравнение примет вид:

y^2 + 6y - 25/16 = 0.

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение относительно y. Для этого воспользуемся квадратным уравнением:

D = b^2 - 4ac,

где a = 1, b = 6, и c = -25/16. Таким образом,

D = 6^2 - 4 * 1 * (-25/16) = 36 + 25/4 = 61/4.

Так как D положительно, у нас есть два корня:

y1 = (-b + √D) / (2a) = (-6 + √(61/4)) / 2 = (-6 + √61/2) / 2, y2 = (-b - √D) / (2a) = (-6 - √(61/4)) / 2 = (-6 - √61/2) / 2.

Теперь мы должны рассмотреть каждый из этих корней и найти соответствующие значения x.

1. Для y1: y1 = (-6 + √61/2) / 2. Теперь найдем cos(2x) с использованием y1: cos(2x) = √y1 = √((-6 + √61/2) / 2). Теперь найдем x: 2x = arccos(√((-6 + √61/2) / 2)). x = (1/2) * arccos(√((-6 + √61/2) / 2)).

2. Для y2: y2 = (-6 - √61/2) / 2. Теперь найдем cos(2x) с использованием y2: cos(2x) = √y2 = √((-6 - √61/2) / 2). Теперь найдем x: 2x = arccos(√((-6 - √61/2) / 2)). x = (1/2) * arccos(√((-6 - √61/2) / 2)).

Теперь у нас есть две формулы для x, которые удовлетворяют уравнению cos^4(2x) + 6cos^2(2x) = 25/16 на заданном промежутке [0; π/2].