Question

Найдите область определения функции y=√(15-x^2-2x)/√(-x-1)

Answer 1

Найдите область определения функции
$y = \frac{ \sqrt{15-x^2-2x} }{ \sqrt{-x-1} }$

Область определения функции
$\left \{ {{15-x^2-2x \ \geq \ 0} \atop {(-x-1) \ \ \textgreater \ \ 0}} \right.$

Из второго неравенства
$(-x-1) \ \ \textgreater \ \ 0 \\ \\ x \ \textless \ -1$

Из первого неравенства
$15-x^2-2x \ \geq \ 0$
корни квадратного уравнения
$x_1 = - 5 \ ; \ x_2 = 3$
Наносим найденные точки на числовую ось и вычисляем знаки на каждом интервале (см. рисунок 1)
$-5 \leq x \leq 3$

Окончательно объединяем оба решения в одно (см. рисунок 2)
Общее решение
$-5 \leq x \ \textless \ -1$

Ответ: 
$x \in [-5 \ ; \ -1)$
или
$-5 \leq x \ \textless \ -1$

Answer 2

ДАНО
$Y= \frac{ \sqrt{-x^2-2*x+15} }{ \sqrt{-(x+1)} }$
НАЙТИ
D(x) = ? - область определения.
ДУМАЕМ
1) Не должно быть деления на ноль.
2) Под знаком радикала - не отрицательное число (арифметический корень)
РЕШЕНИЕ
1) В знаменателе - не ноль - когда под корнем положительное  число.
- (х+1) > 0 
Вычисляем и получаем
x < -1 - (запомнили первое ограничение)
2) В числителе под корнем не отрицательное.
Решаем неравенство с  квадратным уравнением и находим интервал .
-x² - 2*x + 15 ≥0
Преобразовали (решили) квадратное уравнение
 - (x-3)*(x+5) ≥ 0. (Нулю - может быть равно).
Парабола с отрицательным коэффициентом и, поэтому, положительные значения  между корнями:
-5 ≤ х ≤ 3. - запомнили второе ограничение
Самое сложное! Объединить все ограничения и их исключить из области определения.
Делаем схему - на рисунке в приложении и находим пересечение ограничений. Обратите внимание на пояснения к рисунку.
Объединяем и получаем:
D(x) - X∈[-5;-1)  - область определения - ОТВЕТ

Answer 3

Чтобы найти область определения функции y = √((15 - x^2 - 2x) / √(-x - 1)), необходимо учесть два фактора: деление на ноль и извлечение корня из отрицательного числа.

1. Деление на ноль: В знаменателе функции у нас есть √(-x - 1). Чтобы избежать деления на ноль, необходимо исключить значения x, при которых знаменатель обращается в ноль. То есть:

-x - 1 ≠ 0 -x ≠ 1 x ≠ -1

Таким образом, функция не определена при x = -1.

2. Извлечение корня из отрицательного числа: В числителе у нас есть выражение 15 - x^2 - 2x. Чтобы избежать извлечения корня из отрицательного числа, необходимо убедиться, что числитель неотрицательный:

15 - x^2 - 2x ≥ 0

Для решения этого неравенства, можно воспользоваться методом дискриминанта. Найдем корни уравнения:

15 - x^2 - 2x = 0

Перепишем это уравнение в квадратном виде:

-x^2 - 2x + 15 = 0

Применяя формулу дискриминанта D = b^2 - 4ac, получим:

D = (-2)^2 - 4(-1)(15) = 4 + 60 = 64

Так как дискриминант положительный, у уравнения есть два различных вещественных корня. Найдем их:

x1 = (-(-2) + √64) / (2 * (-1)) = (2 + 8) / (-2) = -10 / (-2) = 5 x2 = (-(-2) - √64) / (2 * (-1)) = (2 - 8) / (-2) = -6 / (-2) = 3

Теперь проверим знак выражения 15 - x^2 - 2x в каждой из трех областей:

-∞ < x < 3: выражение отрицательное 3 < x < 5: выражение положительное 5 < x < +∞: выражение отрицательное

Таким образом, функция y определена только в интервале 3 < x < 5.

В итоге, область определения функции y = √((15 - x^2 - 2x) / √(-x - 1)) состоит из всех значений x, кроме x = -1, и ограничена интервалом 3 < x < 5.