Question

sin^4x+cos^4x-cos2x=0,5

Answer 1

(sin^2x+cos^2x)^2-2sin^2xcos^2x-cos2x=1/2
1-sin^2(2x)/2-cos2x=1/2
1-1/2(1-cos^2(2x))-cos2x=1/2
1/2cos^2(2x)-cos2x=0
cos2x(1/2cos2x-1)=0
x=П/4+Пk/2
1/2cos2x=1 нет решения |cosx|<=1

Answer 2

Для решения данного уравнения, sin^4x + cos^4x - cos2x = 0.5, мы можем применить различные тригонометрические тождества и алгебраические преобразования. Давайте разберемся по шагам:

Шаг 1: Преобразование cos2x

Используя тригонометрическое тождество cos2x = 1 - 2sin^2x, мы можем заменить cos2x в уравнении:

sin^4x + cos^4x - (1 - 2sin^2x) = 0.5

Шаг 2: Приведение подобных слагаемых

Раскроем скобки и упростим уравнение:

sin^4x + cos^4x - 1 + 2sin^2x = 0.5

sin^4x + cos^4x + 2sin^2x - 1 = 0.5

Шаг 3: Замена sin^4x и cos^4x

Заметим, что sin^4x + cos^4x = (sin^2x + cos^2x)^2 - 2sin^2x*cos^2x. Также, sin^2x + cos^2x = 1, поэтому мы можем заменить sin^4x + cos^4x в уравнении:

(1 - 2sin^2x*cos^2x) + 2sin^2x - 1 = 0.5

Шаг 4: Упрощение уравнения

Раскроем скобки и упростим:

1 - 2sin^2x*cos^2x + 2sin^2x - 1 = 0.5

-2sin^2x*cos^2x + 2sin^2x = 0.5

Шаг 5: Факторизация

Факторизуем уравнение, выделив общий множитель sin^2x:

sin^2x(-2cos^2x + 2) = 0.5

Шаг 6: Решение уравнения

Теперь мы можем решить два уравнения:

1) sin^2x = 0.5 2) -2cos^2x + 2 = 0.5

1) Решение sin^2x = 0.5: Используя тригонометрическое тождество sin^2x + cos^2x = 1, мы можем заменить sin^2x в уравнении:

1 - cos^2x = 0.5

cos^2x = 0.5

cosx = ±√(0.5)

x = π/4 + 2πn, 3π/4 + 2πn, где n - целое число

2) Решение -2cos^2x + 2 = 0.5: Выразим cos^2x:

-2cos^2x + 2 = 0.5

cos^2x = 1.25 / 2

cos^2x = 0.625

cosx = ±√(0.625)

x = ±arccos(√(0.625)) + 2πn, где n - целое число

Таким образом, решение уравнения sin^4x + cos^4x - cos2x = 0.5 будет включать значения x = π/4 + 2πn, 3π/4 + 2πn, ±arccos(√(0.625)) + 2πn, где n - целое число.