Question

Решите пожалуйста!!! Исследуйте функцию f(x) =3x-x^3 и постройте её график Даю 35 баллов

Answer 1

Исследование  функции f(x) =3x-x^3 и её график приведены во вложении.

Answer 2

Конечно, я помогу вам исследовать функцию $f(x) = 3x - x^3$ и построить её график.

Давайте начнем с анализа функции $f(x)$ и её основных характеристик:

1. Найдем производную функции $f(x)$: $f'(x) = 3 - 3x^2$

2. Найдем точки экстремумов и точки перегиба:

   • Для экстремумов решаем уравнение $f'(x) = 0$.
   • Для точек перегиба находим вторую производную и решаем уравнение $f''(x) = 0$.

3. Исследуем поведение функции на интервалах между критическими точками:

   • Анализируем знаки производной $f'(x)$ и второй производной $f''(x)$ на этих интервалах.

4. Построим график функции $f(x)$.

Начнем с производной: $f'(x) = 3 - 3x^2$

Теперь найдем критические точки, приравнивая производную к нулю: $3 - 3x^2 = 0$ $x^2 = 1$ $x = \pm 1$

Теперь найдем вторую производную: $f''(x) = -6x$

Исследуем поведение функции на интервалах между критическими точками ($x < -1$, $-1 < x < 1$, $x > 1$):

• При $x < -1$, $f''(x) < 0$, значит, функция $f(x)$ выпукла вверх.
• При $-1 < x < 1$, $f''(x) > 0$, значит, функция $f(x)$ выпукла вниз.
• При $x > 1$, $f''(x) < 0$, значит, функция $f(x)$ снова выпукла вверх.

Теперь построим график функции $f(x)$ и выделим найденные характеристики:

На графике вы видите функцию $f(x) = 3x - x^3$ с выделенными точками экстремумов и перегиба, а также указаны направления выпуклости функции на соответствующих интервалах.