Question

Известно, что а^2+в^2+с^2=1,x^2+y^2+z^2=1,ax+by+cz=1. Докажите, что a=x, b=y, c=z.

Answer 1

(a-x)²+(b-y)²+(c-z)²=(a²+b²+c²)-2(ax+by+cz)+(x²+y²+z²)=1-2+1=0. Т.к. сумма квадратов равна 0, только если каждое слагаемое равно 0, то a=x, b=y, c=z.

Answer 2

Для начала заметим, что у нас есть два уравнения, которые представляют собой уравнения окружности в трехмерном пространстве.

Мы можем представить уравнения в виде векторов: a = (a, b, c), x = (x, y, z).

Тогда у нас есть следующие уравнения: |a|^2 = 1, |x|^2 = 1, a * x = 1.

Так как |a|^2 = 1 и |x|^2 = 1, то это означает, что вектора a и x лежат на сфере радиуса 1.

Теперь мы можем рассмотреть скалярное произведение векторов a и x: a * x = |a| * |x| * cos(θ).

Где θ - угол между векторами a и x.

Так как оба вектора лежат на сфере радиуса 1, то |a| * |x| * cos(θ) = 1.

Таким образом, мы получаем, что cos(θ) = 1, что возможно только если угол между векторами a и x равен 0. Это означает, что вектора a и x сонаправлены.

Таким образом, мы доказали, что a = x, b = y, c = z.