Question

3. а) Сколько членов содержит бином Ньютона (2a+ 3b)⁴ Б) Определите номер члена биномиального разложения с наибольшим коэффициентом c) Запишите член с наибольшим коэффициентом.​

Answer 1

Для бинома

$(x + y)^{n}$

справедливы следующие утверждения:

1. Степени x начинаются со степени бинома n и уменьшаются до 0; степени y начинаются с 0 и увеличиваются до n. Последний член не имеет множителя x. Первый член не имеет множителя y, т.е.

2. Коэффициенты начинаются с 1 и увеличиваются на определенные значения (до среднего члена), а потом уменьшаются на те же значения обратно к 1.

3. Бином содержит n+1 членов

4. k-ый член можно найти следующим образом:

$C_{n}^{k－1} \times {x}^{n - k + 1} \times {y}^{k - 1}$

5. Средний член в биноме чётной степени находится по формуле:

$C_{n}^{\frac {n}{2}} \times ({x} {y})^{ \frac{n}{2} }$

На основе теории решим данную задачу:

a) 4 + 1 = 5

b) 3. коэффициент этого члена выглядит так:

$C_{4}^{2} {(3 \times 4 \times x \times y)}^{2} = 216$

с) Из предыдущего пункта:

$216 {a}^{2} {b}^{2}$

Примечание: Коэффициент при члене ab³ для данного бинома также равен 216

Answer 2

Бином Ньютона представляется следующим образом:

$(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_{n}^{k} a^{n-k}b^k$

где $C_{n}^{k}$ обозначает биномиальный коэффициент "n choose k", который равен $\frac{n!}{k!(n-k)!}$.

В вашем случае $n = 4$ и выражение $2a + 3b$ поднесено в степень 4. Таким образом, формула принимает вид:

$(2a + 3b)^4 = \sum_{k=0}^{4} C_{4}^{k} (2a)^{4-k}(3b)^k$

Теперь давайте рассмотрим каждый из ваших вопросов:

а) Сколько членов содержит бином Ньютона $(2a + 3b)^4$?

В данном случае, согласно формуле, общее количество членов равно $n + 1$, то есть $4 + 1 = 5$. Таким образом, бином Ньютона $(2a + 3b)^4$ содержит 5 членов.

б) Определите номер члена биномиального разложения с наибольшим коэффициентом.

Наибольший биномиальный коэффициент соответствует середине разложения, то есть при $k = \frac{n}{2}$, где $n$ — четное. В данном случае $n = 4$, поэтому наибольший коэффициент будет у члена с $k = 2$. Таким образом, номер члена с наибольшим коэффициентом равен 2.

в) Запишите член с наибольшим коэффициентом.

Искомый член будет иметь вид:

$C_{4}^{2} (2a)^{4-2}(3b)^2$

Вычислим биномиальный коэффициент:

$C_{4}^{2} = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{24}{2 \times 2} = 6$

Теперь подставим это значение в выражение:

$6 \times (2a)^2 \times (3b)^2 = 6 \times 4a^2 \times 9b^2 = 54a^2b^2$

Таким образом, член с наибольшим коэффициентом в разложении $(2a + 3b)^4$ равен $54a^2b^2$.