Question

Докажите,что x^2+4÷корень из x^2+3больше или равно 2

Answer 1

Ответ: (х²+2)²>=0

Вот решение:

Answer 2

Для доказательства неравенства $x^2 + \frac{4}{\sqrt{x^2 + 3}} \geq 2$, давайте начнем с левой стороны неравенства и посмотрим, как его можно упростить:

$x^2 + \frac{4}{\sqrt{x^2 + 3}}$

Теперь у нас есть несколько шагов:

1. Добавим $2\sqrt{x^2 + 3}$ и вычтем $2\sqrt{x^2 + 3}$ из выражения:

$$x^2 + \frac{4}{\sqrt{x^2 + 3}} = \left(x^2 + 2\sqrt{x^2 + 3} + 3\right) - \left(2\sqrt{x^2 + 3} - 1\right)$$

2. Раскроем квадрат внутри скобок:

$$\left(x^2 + 2\sqrt{x^2 + 3} + 3\right) = \left(\sqrt{x^2 + 3} + 1\right)^2$$

3. Теперь выразим неравенство следующим образом:

$$\left(\sqrt{x^2 + 3} + 1\right)^2 - \left(2\sqrt{x^2 + 3} - 1\right) \geq 2$$

4. Раскроем квадрат и упростим:

$$\left(\sqrt{x^2 + 3} + 1\right)^2 - \left(2\sqrt{x^2 + 3} - 1\right) = x^2 + 2\sqrt{x^2 + 3} + 1 - 2\sqrt{x^2 + 3} + 1$$

5. Упростим дальше:

$$x^2 + 2\sqrt{x^2 + 3} + 1 - 2\sqrt{x^2 + 3} + 1 = x^2 + 2$$

Таким образом, мы получаем уравнение:

$$x^2 + 2 \geq 2$$

6. Вычтем $2$ из обеих сторон неравенства:

$$x^2 \geq 0$$

Это неравенство истинно для всех реальных значений $x$, потому что квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным числом.

Таким образом, мы доказали, что исходное неравенство $x^2 + \frac{4}{\sqrt{x^2 + 3}} \geq 2$ верно для всех реальных значений $x$.