Question

Доведіть що 12¹⁴ - 5 • 12¹³ + 12¹² ділиться на 17

Answer 1

12¹⁴ - 5 • 12¹³ + 12¹² = 12¹²(12² - 5*12 + 1) = 12¹²(144 - 60 + 1) = 12¹²*85 = 12¹²*5*17 доказано

Answer 2

Щоб довести, що вираз $12^{14} - 5 \cdot 12^{13} + 12^{12}$ ділиться на 17, можемо використовувати арифметичну індукцію та теорему Безу.

Почнемо зі спостереження, що $12^{14}$ є кратним 17, оскільки $12^{14} = (12^{2})^{7} = 144^{7}$, а 144 кратне 17 (бо 144 = 8 * 17). Таким чином, $12^{14}$ ділиться на 17 без остачі.

Тепер розглянемо інші два члени виразу:

1. $5 \cdot 12^{13}$ можна записати як $5 \cdot (12^{2})^{6}$, і оскільки $12^{2}$ кратне 17, то $5 \cdot (12^{2})^{6}$ також буде кратним 17.

2. $12^{12}$ також можна записати як $12^{2} \cdot (12^{2})^{5}$, і, як і раніше, $12^{2}$ кратне 17, тому $12^{12}$ також кратне 17.

Отже, всі три члени виразу $12^{14} - 5 \cdot 12^{13} + 12^{12}$ діляться на 17 без остачі, і тому весь вираз також ділиться на 17 без остачі.