Question

Доведіть, що 36⁷ + 6¹⁰ ділиться на 37(желательно объясните)​ срочно

Answer 1

36⁷+6¹⁰=(6²)⁷+6¹⁰=6¹⁴+6¹⁰=

=6¹⁰(6⁴+1)=6¹⁰(36+1)=37•6¹⁰ ділиться на 37

Answer 2

Щоб довести, що $36^7 + 6^{10}$ ділиться на 37, ми можемо скористатися теоремою малого Ферма. Ця теорема стверджує, що якщо $p$ - просте число і $a$ - ціле число, не кратне $p$, то

$a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}.$

В нашому випадку $p = 37$, тобто $37$ - просте число, і ми маємо $a = 36$ та $a = 6^{10}$.

Спочатку розглянемо $36^7$:

$36^7 \equiv 36^{37-1} \equiv 1 \pmod{37}.$

Тепер розглянемо $6^{10}$. Ми можемо розкласти $6$ на множники:

$6^{10} = (6^2)^5 = 36^5.$

А тепер застосуємо теорему малого Ферма до $36^5$:

$36^5 \equiv (36^7)^{\frac{5}{7}} \equiv 1^{\frac{5}{7}} \equiv 1 \pmod{37}.$

Отже, ми показали, що обидва доданки $36^7$ і $6^{10}$ дають залишок 1 при діленні на 37. Тепер ми можемо додати їх разом:

$36^7 + 6^{10} \equiv 1 + 1 \equiv 2 \pmod{37}.$

Отже, $36^7 + 6^{10}$ дає залишок 2 при діленні на 37. Вираз не ділиться на 37 без остачі.