Question

Срочно нужна помощь!! Про многочлен P(x) четвёртой степени известно, что для любого вещественного x выполнено P(x) >= 0, а также P(1) = 0, P(2) = 3, P(3) = 0 . Найдите P(4).

Answer 1

Ответ:

P(4) = 27

Объяснение:

Многочлен 4 степени записывается так:

P(x) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e

Нам известны значения:

P(1) = a*1^4 + b*1^3 + c*1^2 + d*1 + e = a + b + c + d + e = 0

P(2) = a*2^4 + b*2^3 + c*2^2 + d*2 + e = 16a + 8b + 4c + 2d + e = 3

P(3) = a*3^4 + b*3^3 + c*3^2 + d*3 + e = 81a + 27b + 9c + 3d + e = 0

Кроме того, нам известно, что этот многочлен при любом x принимает значения P(x) >= 0.

Это значит, что в точках x = 1 и x = 3 он имеет минимумы, равные 0.

Берем производную P'(x):

P'(x) = 4x^3 + 3bx^2 + 2cx + d

Мы знаем, что она равна 0 при x = 1 и при x = 3:

P'(1) = 4a*1^3 + 3b*1^2 + 2c*1 + d = 4a + 3b + 2c + d = 0

P'(3) = 4a*3^3 + 3b*3^2 + 2c*3 + d = 108a + 27b + 6c + d = 0

Получили систему 5 линейных уравнений с 5 неизвестными.

{ a + b + c + d + e = 0  (1)

{ 16a + 8b + 4c + 2d + e = 3  (2)

{ 81a + 27b + 9c + 3d + e = 0  (3)

{ 4a + 3b + 2c + d = 0  (4)

{ 108a + 27b + 6c + d = 0  (5)

Умножаем (1) на -16 и складываем с (2).

Умножаем (1) на -81 и складываем с (3).

Умножаем (1) на -4 и складываем с (4).

Умножаем (1) на -108 и складываем с (5).

{ a + b + c + d + e = 0  (1)

{ 0a - 8b - 12c - 14d - 15e = 3  (2)

{ 0a - 54b - 72c - 78d - 80e = 0  (3)

{ 0a - b - 2c - 3d - 4e = 0  (4)

{ 0a - 81b - 102c - 107d - 108e = 0  (5)

Теперь (4) делим на -1, а (3) делим на 2.

И перепишем уравнения немного в другом порядке:

{ a + b + c + d + e = 0  (1)

{ 0a + b + 2c + 3d + 4e = 0  (4)

{ 0a - 8b - 12c - 14d - 15e = 3  (2)

{ 0a - 27b - 36c - 39d - 40e = 0  (3)

{ 0a - 81b - 102c - 107d - 108e = 0  (5)

Умножаем (4) на 8 и складываем с (2).

Умножаем (4) на 27 и складываем с (3).

Умножаем (4) на 81 и складываем с (5).

{ a + b + c + d + e = 0  (1)

{ 0a + b + 2c + 3d + 4e = 0  (4)

{ 0a + 0b + 4c + 10d + 17e = 3  (2)

{ 0a + 0b + 18c + 42d + 68e = 0  (3)

{ 0a + 0b + 60c + 136d + 216e = 0  (5)

Умножаем (2) на -9, а (3) умножаем на 2:

{ 0a + 0b - 36c - 90d - 153e = -27

{ 0a + 0b + 36c + 84d + 136e = 0

И складываем эти уравнения:

0a + 0b + 0c - 6d - 17e = -27  (3)

Умножаем (2) на -15, а (5) оставляем, как есть:

{ 0a + 0b - 60c - 150d - 255e = -45  (2)

{ 0a + 0b + 60c + 136d + 216e = 0  (5)

И складываем эти уравнения:

0a + 0b + 0c - 14d - 39e = -45  (5)

Собираем все уравнения обратно в систему и перенумеруем их:

{ a + b + c + d + e = 0   (1)

{ 0a + b + 2c + 3d + 4e = 0  (2)

{ 0a + 0b + 4c + 10d + 17e = 3  (3)

{ 0a + 0b + 0c - 6d - 17e = -27  (4)

{ 0a + 0b + 0c - 14d - 39e = -45  (5)

Последний шаг. Умножаем (4) на -7, а (5) умножаем на 3:

{ a + b + c + d + e = 0  (1)

{ 0a + b + 2c + 3d + 4e = 0  (2)

{ 0a + 0b + 4c + 10d + 17e = 3  (3)

{ 0a + 0b + 0c + 42d + 119e = 189  (4)

{ 0a + 0b + 0c - 42d - 117e = -135  (5)

И складываем (4) и (5):

2e = 54

e = 54/2 = 27

Подставляем в (4):

{ 0a + 0b + 0c - 6d - 17*27 = -27  (4)

-6d = 17*27 - 27 = 432

d = -432/6 = -72

Подставляем в (3):

0a + 0b + 4c + 10(-72) + 17*27 = 3  (3)

4с = 72*10 - 17*27 = 720 - 459 + 3 = 264

c = 264/4 = 66

Подставляем в (2):

0a + b + 2*66 + 3(-72) + 4*27 = 0  (2)

b = -132 + 216 - 108 = -24

Подставляем в (1):

a - 24 + 66 - 72 + 27 = 0  (1)

a = 24 - 66 + 72 - 27 = 3

Итак, мы получили коэффициенты этого многочлена:

P(x) = 3x^4 - 24x^3 + 66x^2 - 72x + 27

И, наконец-то, находим P(4):

P(4) = 3*4^4 - 24*4^3 + 66*4^2 - 72*4 + 27 =

= 3*256 - 24*64 + 66*16 - 288 + 27 =

= 768 - 1536 + 1056 - 288 + 27 = 27

График этого многочлена на рисунке.

Answer 2

Для нахождения значения P(4), мы можем воспользоваться теоремой о промежуточных значениях для непрерывных функций. Поскольку P(x) является многочленом четвертой степени и для любого вещественного x выполнено P(x) >= 0, это означает, что P(x) - это непрерывная функция на всей числовой прямой.

Также известно, что P(1) = 0 и P(3) = 0. Это значит, что между точками x = 1 и x = 3 существует хотя бы один корень многочлена P(x). Теперь мы хотим найти P(4).

Используя теорему о промежуточных значениях, мы знаем, что если непрерывная функция принимает два разных значения в двух точках, то она принимает все промежуточные значения между этими точками.

Поэтому, так как P(1) = 0 и P(3) = 0, существует как минимум одна точка c в интервале (1, 3), в которой P(c) = 4. Таким образом, P(4) = 4.

Итак, P(4) = 4.