Question

Докажите, что: а) смысл выражения 23⁸+ 23⁷ делится на 24; б) значение выражения 9¹⁵-9¹³ делится на 80;​

Answer 1

а) 23 сравнимо с (-1) по модулю 24 => в дальнейшем можно оперировать значением (-1) вместо 23.

(-1)^8 + (-1)^7 = -1 + 1 = 0 - остаток от деления выражения на 24. Остаток 0 означает кратность, ч.т.д.

б) 9^2 = 81, что сравнимо с 1 по модулю 80. Воспользуемся этим и преобразуем выражение:

9^15 - 9^13= 9^12*(9^3-9) = 81^6*(81*9-9), что по модулю 80 сравнимо с:

1^6(1*9-9) = 9-9 = 0, что означает кратность изначального выражения восьмидесяти, ч.т.д.

Answer 2

Давайте докажем оба утверждения:

а) Смысл выражения $23^8 + 23^7$ делится на 24:

Для начала разложим выражение на множители. Мы видим, что оба слагаемых имеют общий множитель 23: $23^8 + 23^7 = 23^7(23 + 1) = 23^7 \cdot 24$

Теперь мы видим, что $23^7$ - это степень 23, и $24 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3$. Мы видим, что 23 и 3 являются взаимно простыми числами (у них нет общих делителей, кроме 1), а 2 встречается в $23^7$ в степени 3 (поскольку $2^3 = 8$), поэтому $23^7$ делится на 8.

Теперь, учитывая это, мы видим, что $23^7 \cdot 24$ делится на 8 и на 3, и, следовательно, делится на 24. Таким образом, смысл выражения $23^8 + 23^7$ действительно делится на 24.

б) Значение выражения $9^{15} - 9^{13}$ делится на 80:

Давайте сначала разложим это выражение. Оба слагаемых имеют общий множитель 9: $9^{15} - 9^{13} = 9^{13}(9^2 - 1)$

Теперь мы видим, что $9^2 - 1 = 81 - 1 = 80$. Известно, что $9^{13}$ делится на 9, так как это степень 9, а 80 является произведением 8 и 10.

Таким образом, $9^{15} - 9^{13}$ делится на 9 и на 80, следовательно, оно также делится на их произведение, то есть на 9 * 80 = 720.